2019中考真题解析：2019年山东省德州市中考数学第17题多思维解析

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　　17.（2019德州）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，弧AB＝弧BF，CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为　 　．

　　【考点】：

　　勾股定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系．

　　【解析一】：

　　本题是2019年山东省德州市中考数学的第17题，属于填空题的倒数第二题，难度中等，因为本题相对来说综合性较强，因而决定拿出来进行分析一下，我们先来看看大多数学生的常规解法，先连接OA、OB，OB交AF于G来构造Rt△OAG和Rt△ABG，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝3，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣1，OA＝r，根据勾股定理得到3+（r﹣1）＝r，解得r＝5，再利用垂径定理得到OB⊥AF，AG＝FG，则AG+OG＝5，AG+（5﹣OG）＝6，然后解方程组求出AG，从而得到2AG=AF进行解答．

　　【解答】：

　　解：连接OA、OB，OB交AF于G，如图，

　　∵AB⊥CD，

　　∴AE＝BE＝1/2AB＝3，

　　设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣1，OA＝r，

　　在Rt△OAE中，3+（r﹣1）＝r，解得r＝5，

　　∵弧AB＝弧BF，

　　∴OB⊥AF，AG＝FG，

　　在Rt△OAG中，AG+OG＝5，①

　　在Rt△ABG中，AG+（5﹣OG）＝6，②

　　解由①②组成的方程组得到AG＝24/5，

　　∴AF＝2AG＝48/5．

　　故答案为48/5．

　　【解析二】：

　　针对于解析一的解法属于常规的解题思路，用到的主要知识是垂径定理、勾股定理，相对来说计算量较大，对于本题我们可以得出AF和OB是垂直的，根据垂径定理可以得到OB是平分AF的，如果我们连接BF和OF，我们可以得到四边形ABFO是“筝形”，因而我们可以选择使用等面积法来进行解答，根据方法一我们可以得到半径AO=BO=5，AB=6，OE=4，AG⊥OB，因而利用△AOB的面积可以得出：1/2AB·OE=1/2BO·AG，即6×4=5×AG，接着算出AG后，根据2AG=AF进行解答．

　　【解析三】：

　　同时本题也可以连接BF，然后观察Rt△BFG和RT△BOE，以及同弧所对的圆心角和圆周角的关系得出∠EOB=∠BFA，然后根据锐角三角函数结合BF=6，在Rt△BFG中进行解三角形也同样可以进行解答；

　　【拓展】筝形的判定：

　　①两组邻边分别相等的四边形是筝形，但四边不等长；

　　②有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形；

　　【总结】：

　　本题解题的关键是要熟练的掌握圆周角、圆心角、弧、弦的关系，理解在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，同时结合垂径定理构造出直角三角形，利用勾股定理进行解答；

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