什么是整数？什么是自然数？

　　整数指的是正整数，负整数以及零的集合，而自然数指的是用来计量事物多少，或表示事物顺序的数。

　　整数是小数部分全是0的有理数；自然数是所有非负整数；

　　一般是从分类上来解释的；实数分成有理数和无理数；有理数分成整数和分数；但整数和分数都可以表示为有限小数和无限循环小数，所以可以说，整数就是小数部分全是0的数；整数集是由全体整数构成的，然后全体非负整数又构成了自然数集。

　　自然数与整数不同的是，自然数有无数的个数，分数和小数并不包含在整数里面，如果没有特殊的对某一个数进行说明。那么所有涉及到的数都是整数。

　　整数介绍

　　整数就是像-3,-2,-1,0,1,2,3,10等这样的数。整数的全体构成整数集，整数集是一个数环。在整数系中，零和正整数统称为自然数。-1、-2、-3、…、-n、…(n为非零自然数)为负整数。则正整数、零与负整数构成整数系。整数不包括小数、分数。

　　整数中，能够被2整除的数，叫做偶数。不能被2整除的数则叫做奇数。即当n是整数时，偶数可表示为2n(n 为整数);奇数则可表示为2n+1(或2n-1)。

　　偶数包括正偶数(亦称双数)、负偶数和0。所有整数不是奇数，就是偶数。

　　在十进制里，我们可用看个位数的方式判断该数是奇数还是偶数：个位为1,3,5,7,9的数为奇数;个位为0,2,4,6,8的数为偶数。

　　

　　整除特征

　　1. 若一个数的末位是单偶数，则这个数能被2整除。

　　2. 若一个数的所有数位上的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

　　3. 若一个数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

　　4. 若一个数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

　　5. 若一个数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

　　6. 若一个数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

　　7. 若一个数的末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

　　8. 若一个数的所有数位上的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。

　　9. 若一个数的末位是0，则这个数能被10整除。

　　10. 若一个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理。过程唯一不同的是：倍数不是2而是1。

　　整数集的表示

　　为什么用 Z表示整数集呢？这个涉及到一个德国女数学家对环理论的贡献，她叫诺特。

　　1920年，她已引入“左模”，“右模”的概念。1921年写出的《整环的理想理论》是交换代数发展的里程碑。其中，诺特在引入整数环概念的时候（整数集本身也是一个数环），她是德国人，德语中的整数叫做Zahlen，于是当时她将整数环记作Z，从那时候起整数集就用Z 表示了。

　　自然数介绍

　　用以计量事物的件数或表示事物次序的数，即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数，表示物体个数的数叫自然数。自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。

　　自然数不仅是表示量的程度的符号，同时也是表示这个量的有序规律的一种符号。就是说：自然数是能够表示同一属性事物的程度及其有序规律的一种符号，并具备表示事物属性、量的程度、有序规律这三种功能。自然数是一切等价有限集合共同特征的标记。

　　注：自然数就是我们常说的正整数。整数包括自然数，所以自然数一定是整数，且一定是非负整数。

　　自然数分类

　　按是否是偶数分类

　　自然数可分为奇数和偶数。

　　1、奇数：不能被2整除的数叫奇数。

　　2、偶数：能被2整除的数叫偶数。也就是说，除了奇数，就是偶数。

　　注：0是偶数。（2002年国际数学协会规定零为偶数，我国2004年也规定零为偶数。偶数可以被2整除，0照样可以，只不过得数依然是0而已）

　　按因数个数分类

　　自然数可分为质数、合数、1和0。

　　1、质数：只有1和它本身这两个因数的自然数叫做质数，也称作素数。

　　2、合数：除了1和它本身还有其它的因数的自然数叫做合数。

　　3、自然数1只有1个因数，它既不是质数也不是合数。

　　4、当然0不能计算因数，和1一样，也不是质数也不是合数。

　　备注：这里是因数不是约数。

　　自然数的性质

　　1、对自然数可以定义加法和乘法。其中，加法运算“+”定义为：

　　a + 0 = a；

　　a + S（x） = S（a +x）， 其中，S（x）表示x的后继者。

　　如果我们将S（0）定义为符号“1”，那么b + 1 = b + S（0） = S（ b + 0 ） = S（b），即，“+1”运算可求得任意自然数的后继者。

　　2、有序性。自然数的有序性是指，自然数可以从0开始，不重复也不遗漏地排成一个数列：0，1，2，3，…这个数列叫自然数列。一个集合的元素如果能与自然数列或者自然数列的一部分建立一一对应，我们就说这个集合是可数的，否则就说它是不可数的。

　　3、无限性。自然数集是一个无穷集合，自然数列可以无止境地写下去。

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