2023广州中考数学的两道压轴题

栏目：学前教育时间：2023-08-03

　　网传今年广州中考数学的两道压轴大题如下：

　　今年这两道题的解题关键都是对几何图形的特殊性质（定点、定角）的猜想和证明，有难度。

　　24题：

　　第一问：n=1,送分；

　　第二问：对称轴为 $x=\frac{m-\frac 2m}2=\frac m2-\frac 1m$ ,直接代入交点式，得到顶点坐标（ $\frac m2-\frac 1m，-(\frac m2+\frac 1m)^2$ ），这个坐标公式留着，下一问直接用。

　　由基本不等式得， $-(\frac m2+\frac 1m)^2\leq -(2\times\sqrt{\frac m2\times\frac 1m} )^2=-2$ ，此时 $\frac m2=\frac 1m， m=-\sqrt2$

　　第三问，一下子冒出很多个点，让人眼花缭乱。一个一个理一下，关注其特性：

　　容易发现G点坐标为（0，mn）,mn=-2，G点为定点；

　　M,N为x轴上的点，纵坐标为0；

　　F点为关键点，横坐标为0，FMGN四点共圆， $\angle GFN=\angle GMN\Rightarrow \frac {$ ，所以F为定点（0,1），线段FG定长为3

　　所以C点的纵坐标恒为 $-\frac 12$ , C点、E点横坐标都是 $\frac m2-\frac 1m$

　　因为FG//CE，所以四边形FGEC为平行四边形的充要条件为FG=CE

　　 $-(\frac m2+\frac 1m)^2+\frac 12=-3$

　　易得 $(\frac m2-\frac 1m)^2=-(\frac m2+\frac 1m)^2-2=\frac32$

　　所以此时E的坐标为（ $-\frac{\sqrt6}2,-\frac72$ ）或（ $\frac{\sqrt6}2,-\frac72$ ）

　　25题：

　　第一问：

　　AB=BC=CF， $\angle FBA=\angle FBE-\angle ABE=\angle CBE-\angle ABE=\angle ABC-2\angle ABE=60^0$

　　所以三角形ABF为等边三角形，送分。

　　第二问：由正方形和对称，猜想角AGC为直角，

　　由AB=BC=BF，尝试作BM垂直于AF于M，联系到图形旋转，作BN垂直CG，如果能证明BM垂直BN，则可知角AGC为直角

　　易证三角形FMB与三角形CNB全等，所以 $\angle NBC=\angle MBF=\angle MBA\Rightarrow \angle MBN=\angle ABC=90^0$

　　所以 $\angle AGB=\angle BGC=45^0$

　　如果三角形BGF为等腰三角形，则角F为45度，或角FBG=45度，或 $\angle F=\angle FBG=67.5^0$ ，前两种情况下，E点与A,D重合。第三种情况下， $\angle ABE=\angle FBG-2\angle FBM=\angle FBG-2(90^0-\angle FBG)=22.5^0$

　　第三问：

　　易知ABCDG五点共圆。

　　因为三角形BCG和三角形BFG全等，所以当G为劣弧AD中点时，BC边上的高最大，三角形面积最大。

　　取BC中点H和正方形中心O，由正方形和圆的对称性可知，AH为BC边上的高，

　　 $GH=OH+OG=\frac12AB+\frac{\sqrt2}2AB$

　　 $S_{\triangle BGF}=\frac12AH\times AB=\frac14(1+\sqrt2)AB^2=\frac{27+9\sqrt3}4$

　　此时 $\angle ABE=\angle DBE=22.5^0$ , $\frac {AE}{DE}=\frac{AB}{BD}=\frac1{\sqrt2}$

　　 $AE=\frac1{1+\sqrt2}AD=\sqrt3$

　　有趣的是，21年中考数学，广州难，深圳易；22年，广州易，深圳难；今年，广州难，深圳？拭目以待。

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