（北师大版）数学八年级上册知识点归纳总结

　　第一章 勾股定理

　　1.勾股定理

　　直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a+b=c。

　　2.勾股定理的逆定理

　　如果三角形的三边长a，b，c有这种关系，那么这个三角形是直角三角形。

　　3.勾股数

　　满足的三个正整数，称为勾股数。

　　常见的勾股数组有：（3，4，5）；（5，12，13）；（8，15，17）；（7，24，25）；（20，21，29）；（9，40，41）；……（这些勾股数组的倍数仍是勾股数）

　　第二章 实数

　　1.实数的概念及分类

　　①实数的分类

　　②无理数

　　无限不循环小数叫做无理数。

　　在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：

　　a.开方开不尽的数，如 √7 ,√2等；

　　b.有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π /+8等；

　　c.有特定结构的数，如0.1010010001…等;

　　d.某些三角函数值，如sin60°等

　　2.实数的倒数、相反数和绝对值

　　①相反数

　　实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。

　　②绝对值

　　在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。|a|≥0。0的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。

　　③倒数

　　如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。0没有倒数。

　　④数轴

　　规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

　　解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

　　⑤估算

　　3.平方根、算数平方根和立方根

　　①算术平方根

　　一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。

　　性质：正数和零的算术平方根都只有一个，0的算术平方根是0。

　　②平方根

　　一般地，如果一个数x的平方等于a，即x=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。

　　性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

　　开平方求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。注意 √a的双重非负性：√a≥0 ; a≥0

　　③立方根

　　一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a 的立方根（或三次方根）。

　　表示方法：记作 √a

　　性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

　　注意：- √a=√-a，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

　　4.实数大小的比较

　　①实数比较大小

　　正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；

　　数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；

　　两个负数，绝对值大的反而小。

　　②实数大小比较的几种常用方法

　　数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

　　求差比较：设a、b是实数

　　a-b＞0a＞b；

　　a-b=0a=b；

　　a-b＜0a＜b 。

　　求商比较法：设a、b是两正实数，

　　绝对值比较法：设a、b是两负实数，则∣a∣＞∣b∣a＜b。

　　平方法：设a、b是两负实数，则 a＞ba＜b 。

　　5.算术平方根有关计算（二次根式）

　　①含有二次根号“ √ ”；被开方数a必须是非负数。

　　②性质：

　　③运算结果若含有“ √ ”形式，必须满足：

　　a.被开方数的因数是整数，因式是整式

　　b.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式

　　6.实数的运算

　　①六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方。

　　②实数的运算顺序

　　先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

　　③运算律

　　加法交换律 a+b= b+a

　　加法结合律 （a+b）+c= a+( b+c )

　　乘法交换律 a×b= b×a

　　乘法结合律 （a×b）×c = a×( b×c )

　　乘法对加法的分配律 a×( b+c )=a×b+a×c

　　第三章 位置与坐标

　　1.确定位置

　　在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。

　　2.平面直角坐标系及有关概念

　　①平面直角坐标系

　　在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

　　②坐标轴和象限

　　为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

　　注意：x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。

　　③点的坐标的概念

　　a.对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。

　　b.点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。

　　c.平面内点的与有序实数对是一一对应的。

　　④不同位置的点的坐标的特征

　　a.各象限内点的坐标的特征

　　点P(x,y)在第一象限→ x＞0,y＞0

　　点P(x,y)在第二象限 → x＜0,y＞0

　　点P(x,y)在第三象限 → x＜0,y＜0

　　点P(x,y)在第四象限 → x＞0,y＜0

　　b.坐标轴上的点的特征

　　点P(x,y)在x轴上 → y=0，x为任意实数

　　点P(x,y)在y轴上 → x=0，y为任意实数

　　点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上→ x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）即原点

　　c.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

　　点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）上 → x与y相等

　　点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 → x与y互为相反数

　　d.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

　　位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

　　位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

　　e.关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征

　　点P与点p’关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）

　　点P与点p’关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）

　　点P与点p’关于原点对称，横、纵坐标均互为相反数，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）

　　f.点到坐标轴及原点的距离

　　点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：

　　点P(x,y)到x轴的距离等于 ∣y∣

　　点P(x,y)到y轴的距离等于 ∣x∣

　　点P(x,y)到原点的距离等于 √x2+y2

　　3.坐标变化与图形变化的规律

　　第四章 一次函数

　　1.函数

　　一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

　　2.自变量取值范围

　　使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。

　　3.函数的三种表示法及其优缺点

　　a.关系式（解析）法

　　两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。

　　b.列表法

　　把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

　　c.图象法

　　用图象表示函数关系的方法叫做图象法。

　　4.由函数关系式画其图像的一般步骤

　　a.列表：列表给出自变量与函数的一些对应值。

　　b.描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点。

　　c.连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

　　5.正比例函数和一次函数

　　①正比例函数和一次函数的概念

　　a.一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成y=kx+b （k，b为常数，k不等于 0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。

　　b.特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时（k为常数，k 不等于0），称y是x的正比例函数。

　　②一次函数的图像:

　　所有一次函数的图像都是一条直线。

　　③一次函数、正比例函数图像的主要特征

　　a.一次函数y=kx+b的图像是经过点（0，b）的直线；

　　b.正比例函数y=kx的图像是经过原点（0，0）的直线。

　　④正比例函数的性质

　　一般地，正比例函数 有下列性质：

　　a.当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；

　　b.当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。

　　⑤一次函数的性质

　　一般地，一次函数 有下列性质：

　　a.当k>0时，y随x的增大而增大；

　　b.当k<0时，y随x的增大而减小。

　　⑥正比例函数和一次函数解析式的确定

　　a.确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx（k 不等于0）中的常数k。

　　b.确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k 不等于0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法.

　　⑦一次函数与一元一次方程的关系

　　a.任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．

　　b.结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．

　　c.从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．

　　第五章 二元一次方程组

　　1.二元一次方程

　　①二元一次方程

　　含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

　　②二元一次方程的解

　　适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

　　2.二元一次方程组

　　①含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。

　　②二元一次方程组的解

　　二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

　　③二元一次方程组的解法

　　a.代入（消元）法

　　b.加减（消元）法

　　④一次函数与二元一次方程（组）的关系：

　　a.一次函数与二元一次方程的关系：

　　直线y=kx+b上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程kx- y+b=0的解

　　b.一次函数与二元一次方程组的关系：

　　二元一次方程组

　　的解可看作两个一次函数

　　和

　　的图象的交点。

　　当函数图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；

　　当函数图象（直线）平行即无交点时，说明相应的二元一次方程组无解。

　　第六章 数据的分析

　　1.刻画数据的集中趋势（平均水平）的量：平均数 、众数、中位数

　　2.平均数

　　a.平均数：一般地，对于n个数，我们把它们的和与n之商叫做这n个数的算术平均数，简称平均数。

　　b.加权平均数。

　　3.众数

　　一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。

　　4.中位数

　　一般地，将一组数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

　　第七章 平行线的证明

　　1.平行线的性质

　　一般地,如果两条线互相平行的直线被第三条直线所截,那么同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.

　　也可以简单的说成：

　　a.两直线平行,同位角相等；

　　b.两直线平行,内错角相等；

　　c.两直线平行,同旁内角互补。

　　2.判定平行线

　　(1)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行。也可以简单说成：

　　a.同位角相等两直线平行;

　　b.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；

　　c.如果同旁内角互补,那么这两条直线平行。

　　(2)其他两条可以简单说成：

　　a.内错角相等两直线平行。

　　b.同旁内角相等两直线平行。

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