一道DMCC底特律梅西大学数学竞赛题

　　海外大学有举办数学活动的传统，底特律梅西大学就举办了Detroit Mercy Mathematics Competition数学竞赛，简称DMCC。竞赛面向中学生，同时也给数学爱好者提供了一个舞台。

　　他们定期发布趣味题，征集答案，给出完美解答的同学名字会被刊登出来，就像上班里的荣誉榜一样。我们觉得这样纯粹的爱好，没有功利的活动挺好的，值得我们借鉴。

　　一起琢磨一下2018年DMCC的一道题，给9-12年级同学做的。英文题目是这样，有志参加国际竞赛的同学一定要逼自己看英文哦，常看就习惯了。

　　Special m:n Triangles. An acute angled triangle ABC is called a special m:n triangle with vertex A. if AH:BH:CH are in the proportion mn:m:n, where H is the foot of the altitude dropped from the vertex A on to the base BC. Here is a special 1:2 triangle, with AH:BH:CH=2:1:2.

　　Problem. In the figure below, ABCDE is a pentagon such that with respect to vertex A. ABC is a special 3:5 triangle, ACD is a special 2:7 triangle, and ADE is a special 8:3 triangle.

　　Prove that the pentagon's vertex angle ∠A, that is ∠BAE, must be a right angle, using only elementary geometry and/or trigonometry, and without using a calculator or a computer.

　　背景知识，“特殊的 m:n 三角形”。 锐角三角形ABC，如果 AH:BH:CH的比例为mn:m:n，其中H是从顶点A到底边BC垂线的垂足，那就称为以A为顶点的特殊m:n三角形。图1就是例子，一个特殊的 1:2 三角形，AH:BH:CH=2:1:2。

　　问题如下。 在下图中，ABCDE 是一个五边形，相对于顶点 A， ABC 是特殊的 3:5 三角形，ACD 是特殊的 2:7 三角形，ADE 是特殊的 8:3 三角形。 证明五边形的顶角∠A，即∠BAE，一定是直角。只许使用初等几何和三角函数知识，不许使用计算器或计算机。

　　回想上一篇文章的结论，提示和45°有关系。评论区对答案， 关注「小留洋」，一起研究海外数学题。

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