2013年四川高考数学真题，椭圆综合题，难度不大但计算量很大

　　大家好！本文和大家分享一道2013年四川高考理科数学真题。这道题是第20题，也就是全卷倒数第二题，满分13分。本题考查了椭圆的定义、椭圆的基本性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等知识。整体来看，这道题的难度不大，但是第二小问的计算量非常大。

　　

　　先看第一小问：求椭圆的离心率。

　　要求椭圆的离心率，只需要求出a、c的值即可。由于椭圆左右焦点的坐标分别为(-1,0)、(1,0)，所以c=1。故接下来只需要求出a的值即可。

　　根据椭圆的第一定义可知，椭圆上的点P到椭圆左右焦点的距离之和就等于2a，而点P到F1、F2的距离可以用两点间距离公式求出。这样就可以得到a的值。

　　

　　很多同学在学习过程中不重视定义，也就想不到直接用定义来求a的值。那么也可以用下面的方法求解。

　　同样先得到c=1，在椭圆中根据a、b、c的关系可以得到a^2-b^2=1。又点P在椭圆上，所以把点P的坐标代入椭圆方程，从而就可以得到一个关于a、b的方程组，解出方程组就可以得到a的值。这儿需要注意的是，a只取正数。

　　

　　再看第二小问：求点Q的轨迹方程。

　　求轨迹方程也就是找到点的横纵坐标之间的关系，我们直接设Q(x,y)，并且由第一小问可以得到椭圆的标准方程。

　　由题意知，点Q在直线l上，直线l又与椭圆相交，所以我们可以先设出直线l的方程，在将直线l和椭圆的方程联立起来消去x或y，从而就可以得到一个关于y或x的一元二次方程，然后用韦达定理就可以求出点M、N横纵坐标之间的关系。

　　需要注意的是，设直线方程时，大部分同学更习惯用斜截式方程，那么此时就需要讨论直线l的斜率是否存在。

　　斜率不存在时，直线l的方程就是x=0，这种情况非常简单，可以直接求出点Q的坐标。

　　斜率存在时，就可以设直线l的方程为y=kx+2。

　　接着，我们用两点间距离公式分别表示出|AQ|^2、|AM|^2、|AN|^2，再代入关系式中化简，就得到了x、x1、x2之间的关系，然后再将用韦达定理得到的x1、x2的关系代入，从而就变成了x关于k的表达式。由于点Q在直线l上，则y=kx+2，那么k=(y-2)/x，并代入前面的表达式就可以求出轨迹方程。

　　特别注意的是，求出了轨迹方程的表达式，还必须求出x、y的取值范围，否则是要丢分的。

　　

　　另外，在设直线l的方程时，由于点A(0,2)，结合椭圆的标准方程可知，直线l的斜率一定不为0，所以我们就可以换一种方程形式，即设直线l的方程为x=my-2m。

　　这种方程形式与斜截式最大的区别是：斜截式不能表示斜率不存在的直线，而这种方程形式可以表示斜率不存在的直线，但是不能表示斜率为零的直线。在本题中，如果用后面这种形式就可以免去分类讨论的麻烦了。

　　

　　这道题的难度算是中等，但是计算量很大，很多同学思路没问题，但是计算出现了错误，非常可惜。

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