一道初中数学竞赛题，分解因式，直接展开太麻烦，这才是最佳方法

　　在中学数学的学习中，因式分解是绕不开的一个知识点。比如在中考中，因式分解会有单独的题，而且解一元二次方程、二次函数也可能会用到因式分解。在高中数学中，因式分解也是一个非常重要的工具，可以说是贯穿了从高一到高三的整个高中数学的学习过程当中。

　　本文和大家分享一道希望杯数学竞赛题，分解因式：(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x^2。

　　本题直接展开太麻烦，我们先来看一道类似的竞赛题，分解因式： (x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+1。

　　这道题最明显的特征就是：x+2+x+5=x+3+x+4，所以就将(x+2)(x+5)和(x+3)(x+4)分组，分别展开得到x^2+7x+10和x^2+7x+12。到了这一步，相信大家都能够看出来接下来就应该进行换元了。

　　第一种换元法：

　　令x^2+7x=t，则x^2+7x+10=t+10，x^2+7x+12=t+12，所以原式就变为(t+10)(t+12)+1。这样变换后，计算量就小了很多。

　　第二种换元法：

　　令x^2+7x+10=t，则原式变换为t(t+2)+1=(t+1)^2，再将t=x^2+7x+10代入即可。

　　第三种换元法：均值换元

　　令x^2+7x+11=t，则原式变为(t-1)(t+1)+1=t^2，再代入t即可得到答案。

　　接下来再看这道希望杯数学竞赛题。这两道题的形式非常接近，因此也可以采用上面这题的方法。即(x+1)(x+6)和(x+2)(x+3)分组分别展开，得到x^2+7x+6和x^2+5x+6，接下来就进行换元。

　　方法一：均值换元

　　令x^2+6x+6=t，则原式变形为(t+x)(t-x)+x^2=t^2-x^2+x^2=t^2=(x^2+6x+6)^2。

　　方法二：

　　除了用方法一的均值换元，将相同的部分进行换元也是可以的。比如令x^2+6=t，则原式变形为(t+7x)(t+5x)+x^2=t^2+12tx+35x^2+x^2=t^2+12tx+36x^2=(t+6x)^2=(x^2+6x+6)^2。

　　从上面的解题过程可以看出，很多时候换元的方法并不止一种，但是通常来说均值换元法得到的式子计算起来更加简单，所以在能够用均值换元法的情况下优先使用均值换元法。

　　最后给大家留一道类似的竞赛题，解方程：(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=120。有兴趣的同学可以自己做一下，方法和上面两道题是一样的。

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