中考数学复习方法｜没有比较就没有伤害，试看一类问题异类解法

　　以一次函数图象为载体，构建的具有实际意义的数学问题，称之为“一次函数的实际应用题”.

　　其特点是实际问题中的数量及其关系蕴涵在函数图象中.难点是从图象中提取、分析和处理信息，还原实际问题发生过程.其类型有行程问题、进出问题、工作问题和双图像问题.

　　通用解法：

　　1.看轴找点取信息——先看横纵轴所表达的意义，再依次提取每个点所蕴涵的信息，同时弄清每条线段所代表的运动信息，最好转化为直线图，从而还原实际问题发生过程.

　　2.联系思考求未知——题目文字部分、图像前后之间、各个数量之间，主动联系起来思考，从而求得未知的数量及关系.

　　3.所有坐标都找到——通过上述两步，可以求得图像中所有点的坐标，进而可以得到所求的数量和函数解析式，实际问题也得以还原.

　　4.算式方程解析式——解题过程主要用到列算式，列方程，求解析式，尤其最后一问，采用列方程的方法最有效便捷.我们知道以下几点，是解题的关键：

　　下面通过几例，通过两种方法求解（通用及异类解法）行程问题信息问题，可从中比较，繁难与简易立马可判，可以说没有比较就没有伤害。

　　例1．（2017春宁河县月考）小亮家与姥姥家相距24km，小亮8：00从家出发，骑自行车去姥姥家．妈妈8：30从家出发，乘车沿相同路线去姥姥家．在同一直角坐标系中，小亮和妈妈的行进路程s（km）与时间t（h）的函数图象如图所示．根据图象得出下列结论，其中错误的是（　　）

　　A．小亮骑自行车的平均速度是12 km/h

　　B．妈妈比小亮提前0.5 h到达姥姥家

　　C．妈妈在距家12 km处追上小亮

　　D．9：30妈妈追上小亮

　　【解析】常规解法：

　　A、根据函数图象小亮去姥姥家所用时间为10﹣8=2小时，

　　∴小亮骑自行车的平均速度为：24÷2=12（km/h），故正确；

　　B、由图象可得，妈妈到姥姥家对应的时间t=9.5，小亮到姥姥家对应的时间t=10，10﹣9.5=0.5（小时），

　　∴妈妈比小亮提前0.5小时到达姥姥家，故正确；

　　C、由图象可知，当t=9时，妈妈追上小亮，此时小亮离家的时间为9﹣8=1爱情片小时，

　　∴小亮走的路程为：1×12=12km，

　　∴妈妈在距家12km出追上小亮，故正确；

　　D、由图象可知，当t=9时，妈妈追上小亮，故错误；

　　故选：D．

　　异类解法：对A,B判断仍用上述方法,对C判断用用相似形知识求解

　　

　　故选：D．

　　例2．（南京中考题）从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段时间，假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进．已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km．设小明出发x h后，到达离甲地y km的地方，图中的折线OABCDE表示y与x之间的函数关系．

　　（1）小明骑车在平路上的速度为_______　km/h；他途中休息了　______　h；

　　（2）求线段AB、BC所表示的y与x之间的函数关系式；

　　（3）如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，那么该地点离甲地多远？

　　【分析】（1）由速度=路程÷时间就可以求出小明在平路上的速度，就可以求出返回的时间，进而得出途中休息的时间；

　　（2）先由函数图象求出小明到达乙地的时间就可以求出B的坐标和C的坐标就可以由待定系数法求出解析式；

　　（3）小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，由题意可以得出这个地点只能在坡路上．设小明第一次经过该地点的时间为t，则第二次经过该地点的时间为（t+0.15）h，根据距离甲地的距离相等建立方程求出其解即可．

　　【解答】常规解法：

　　（1）小明骑车在平路上的速度为：4.5÷0.3=15（km/h），

　　∴小明骑车在上坡路的速度为：15﹣5=10（km/h），

　　小明骑车在下坡路的速度为：15+5=20（km/h）．

　　∴小明在AB段上坡的时间为：（6.5﹣4.5）÷10=0.2（h），

　　BC段下坡的时间为：（6.5﹣4.5）÷20=0.1（h），

　　DE段平路的时间和OA段平路的时间相等为0.3h，

　　∴小明途中休息的时间为：1﹣0.3﹣0.2﹣0.1﹣0.3=0.1（h）．

　　故答案为：15，0.1．

　　（2）小明骑车到达乙地的时间为0.5小时，

　　∴B（0.5，6.5）．

　　小明下坡行驶的时间为：2÷20=0.1，

　　∴C（0.6，4.5）．

　　（3）小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，由题意可以得出这个地点只能在坡路上，因为A点和C点之间的时间间隔为0.3．设小明第一次经过该地点的时间为t，则第二次经过该地点的时间为（t+0.15）h，由题意得：

　　10t+1.5=﹣20（t+0.15）+16.5，

　　解得：t=0.4，

　　∴y=10×0.4+1.5=5.5，

　　答：该地点离甲地5.5km．

　　我们对较难的第（3）问用异类解法相似形知识求解：

　　

　　例3．（盐城中考题）一慢车和一快车沿相同路线从A地到B地，所行的路程与时间的函数图象如图所示．请你根据图象，回答下列问题：

　　（1）慢车比快车早出发______小时，快车追上慢车时行驶了_______千米，快车比慢车早______小时到达B地；

　　（2）在下列3个问题中任选一题求解（多做不加分）：

　　①快车追上慢车需几个小时？

　　②求慢车、快车的速度；

　　③求A、B两地之间的路程．

　　【分析】（1）根据图中，快，慢车的函数图象可得出结果．

　　（2）①快车追上慢车时，两者都行驶了276千米，再根据慢车比快车早走2小时，可在这段距离内，表示出两车的速度，然后根据行驶的总路程相等，来列出方程，求出未知数．

　　②根据①求出的快车追上慢车时走的时间，可知道慢车和快车在相遇时分别用了多少小时，已知这段路程是276千米，因此根据速度=路程÷时间，即可求出两车的速度．

　　③有了②求出的两车的速度，从图中又知道了两车走完全程用的时间，因此，可以得出AB两地的路程．

　　【解答】常规解法：

　　（1）慢车比快车早出发2小时，快车追上慢车时行驶了276千米，快车比慢车早4小时到达B地；

　　（2）设快车追上慢车时，慢车行驶了x小时，则慢车的速度可以表示为千米/小时，快车的速度为千米/小时，根据两车行驶的路程相等，可以列出方程

　　解得x=6（小时）．

　　所以，①快车追上慢车需6﹣2=4（小时）；

　　②慢车的速度为千米/小时，快车的速度为千米/小时；

　　③A、B两地间的路程为46×18=828千米．

　　对较难第（2）问用相似形知识求解

　　

　　练习：（2018春磴口县期末）如图A、B两地相距50km．甲于某日下午1点骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑摩托车从A地出发驶往B地．图中折线PQR和线段MN分别表示甲和乙行驶的路程s与该日下午时间t之间的关系．下列说法正确的有（　　）

　　①甲、乙两人同时到达目的地；

　　②乙出发后30分钟后追上甲；

　　③甲的平均速度是10km/h，乙的速度是50km/h；

　　④甲、乙相遇是距出发地25km．

　　A．1个 B．2个

　　C．3个 D．4个

　　（练习答案：B)

　　反思1：对于一次函数图像信息的行程常规解题思路如下

　　1、只涉及一人(车)行驶的图像，倾斜程度多为速度．

　　2、若两人(车)的两个图像在同一张图中，则交点处表示相遇(追上)，将两函数解析式联立方程组可求相遇的时间．若要求两人何时相距多少，则两解析式之差的绝对值即为多少．

　　3、对于以两人(车)之间的距离为纵坐标的题目，则需要注意，纵坐标为0处，表示相遇(追上)．都在行驶时，倾斜程度可能是两人(车)的速度和或差，若只一人(车)在行驶，则倾斜程度可能是一人(车)的速度．若要求两人(车)之间的距离为多少时的时间，则只要让解析式的值为这个距离即可求出．

　　反思2：用相似形知识求解图像信息应用的行程问题。有时直观又形象、简单又快捷，有时可尝试一下。但因为受习惯和常规思维的影响，这种方法恐怕极少人会想到使用。应该善于打破知识的疆界，把知识进行整合、贯通，是培养创造性思维及提高解决问题能力的重要途径。

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