2020年河北省中考数学压轴题解析
题目:
26.如图1和图2,在△ABC中,AB=AC,BC=8,tanC=3/4.点K在AC边上,点M,N分别在AB,BC上,且AM=CN=2.点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动,到达点N时停止;而点Q在AC边上随P移动,且始终保持∠APQ=∠B.
(1)当点P在BC上时,求点P与点A的最短距离;
(2)若点P在MB上,且PQ将△ABC的面积分成上下4:5两部分时,求MP的长;
(3)设点P移动的路程为x,当0≤x≤3及3≤x≤9时,分别求点P到直线AC的距离(用含x的式子表示);
(4)在点P处设计并安装一扫描器,按定角∠APQ扫描△APQ区域(含边界),扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒.若AK=9/4,请直接写出点K被扫描到的总时长.
先初步观察分析,给定的△ABC,这是等腰△ABC,底角的正切值是3/4,底边是8,则BC上的高是3,腰长AB=AC=5,AM=CN=2,MB=3,BN=6.当点P在AB上时,根据∠APQ=∠B.得到A字型相似,△APQ∽△ABC;当点P在BN上时,存在“一线三等角”的两个△相似(图2中,△BPA∽△CQP)
问(1)AH=4
问(2)PQ将△ABC的面积分成上下4:5两部分时,△APQ∽△ABC的面积比是4:9,相似比是2:3,如上图,求出AP=10/3,MP=4/3.
问(3)0≤x≤3时,Rt△PAE∽Rt△BAF,BF=24/5,AP=2+x;(2+x):5=PE:24/5
PE=24x/25+48/25;3≤x≤9时,见下图
PE=-3x/5+33/5
问(4)先求一下扫描仪的速度,v=9/36=1/4.分两段0≤x≤3及3≤x≤9讨论,从△APQ能包含K点的P的路程入手。0≤x≤3时,3-(9/4-2)=11/4。
3≤x≤9时,注意,CQ的长度≤11/4时,都能扫到。
△BPA∽△CQP入手,
CQ是一个关于x的二次函数,注意当CQ的长度≤11/4,有两段,长度和是3.
总长度和:3+11/4=23/4,速度是1/4,时长:23S.
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