初二数学期中复习,梯子下滑过程中怎么求面积的最值,这方法管用
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勾股定理是初二数学的重要知识点,利用勾股定理可以解决生活中的实际问题,本文就例题详细解析关于勾股定理应用题的解题思路,希望能给初二学生的数学学习带来帮助。
例题
如图,一根长2.5m的木棍(AB)斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上,此时点O到点B的距离为0.7m,设木棍的中点为P,若木棍A端沿墙下滑,且B端沿地面向右滑行。
(1)如果木棍A端沿墙下滑0.4m,那么木棍B端向外移动多少距离?
(2)判断木棍滑动的过程中,点P到点O的距离是否变化,并简述理由;
(3)木棍滑动的过程中,当滑动到什么位置时,△AOB的面积最大?请简述理由,并求出面积的最大值。
1、求木棍B端向外移动的距离
根据勾股定理和题目中的条件:∠AOB=90°,AB=2.5m,OB=0.7m,OA^2+OB^2=AB^2,则OA=2.4m;
根据题目中的条件:A端沿墙下滑0.4m,则AC=0.4m;
根据结论:AC=0.4m,OA=2.4m,则OC=OA-AC=2m;
根据勾股定理和结论:∠AOB=90°,OC=2m,CD=AB=2.5m,OC^2+OD^2=CD^2,则OD=1.5m;
根据结论:OD=1.5m,OB=0.7m,则BD=OD-OB=0.8m;
所以,木棍B端向外移动0.8m。
2、证明:点P到点O的距离不变
根据直角三角形的性质和题目中的条件:直角三角形斜边上的中线为斜边的一半,∠AOB=90°,点P为AB的中点,则OP=AP=BP=AB/2;
所以,当木棍AB下滑的过程中,AB不变,则OP不变。
3、当△AOB的面积最大,求木棍滑动到的位置
过点O作OE⊥AB于点E
根据三角形面积公式和题目中的条件:S△AOB=AB*OE/2,S△AOP=AP*OE/2,S△BOP=BP*OE/2,AP=BP=AB/2,则S△AOP=S△BOP=S△AOB/2;
当OE=OP,即AB⊥OP时,△AOB的面积取到最大值
根据中垂线的性质和题目中的条件:线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等,AB⊥OP,AP=BP,则AO=BO;
根据勾股定理和结论:∠AOB=90°,AO=BO,AB=2.5m,AO^2+BO^2=AB^2,则AO=BO=5√2/4m;
根据三角形面积公式和结论:AO=BO=5√2/4m,则S△AOB=AO*BO/2=25/16m^2
所以,当木棍滑动到B端距离O点5√2/4m的位置时,△AOB的面积最大,最大值为25/16m^2。
结语
解决本题的关键是利用勾股定理和三角形面积公式进行求解,确定三角形面积取到最值时的斜边上的高,从而求解到题目需要的值。
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