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初一数学角度问题,详解钟表指针夹角度数,数形结合更清晰
初一数学中,开始接触几何知识,都是比较简单的几何图形,或者是点、线、角的知识,而在角这部分,有一个难点就是钟表指针夹角度数的问题,要解决钟表指针夹角的问题,最常用的就是数形结合的思想,通过画出表盘,标注出明确的角度,然后结合钟表上的计算的几个要点进行求值即可。
关于钟表的指针角度的计算要把握几个要点:一、分针走过1小格用时1分钟,走过的度数是6°,时针走过一大格用时1h,走过的度数是30读;二、时针的速度是分钟的1/12,因此分针每走一小格即一分钟,时针走1/12*6°=0.5°;三、在计算角度的时候,经常总整点整分开始考虑,进行角度的加减运算,从而求出钟表实际的角度值。
例:分别计算出8点,8点15分,8点27分,8点30分,3点25分,时针与分针所夹的小于平角的角的度数。
【解析】:从图示可知,8点的时候,分针和指针之间有4个大格,每个大格是30°,因此8点的时候,分针与时针的夹角为4*30=120°。8点15,我们可以假设时针正好在8上,分针在3上,图示角1的度数,为5*30=150°,而实际上,分针转动,时针也是转动的,根据分针每走一分钟,时针走0.5°,可得15分的时候,时针转动了15*0.5°=7.5°,因此角2等于7.5度,因此真实的8点15分的夹角为角1加角2的度数,即157.5°。
从上面的两个图示,我们用上面的方法来计算8点27分和8点30分的时针与分针夹角的度数。8点30分,我们可以假设时针正好在8上,分针在6上,图示角2的度数为2*30=60°,同样根据分针每走一分钟,时针走0.5°,可得30分的时候,时针转动了30*0.5°=15°,因此角1等于15度,因此真实的8点30分的夹角为角1加角2的度数,即75°。8点27分,同样是利用角1加角2,根据一小格的度数是6°,我们可以假设时针正好在8上,分针在27分时刻处,图示角1的度数为2*30+3*6°=78°,同样根据分针每走一分钟,时针走0.5°,可得27分的时候,时针转动了27*0.5°=13.5°,因此角1等于13.5度,因此真实的8点27分的夹角为91.5°。
关于3点25分,从上面的4个钟表上我们发现,时针都在分针的前面,利用两个角度的和,对于3点25分,分针在时针的前面,从图示中,可以看到真实角的度数应该是角1减角2。假设时针正好在3上,分针在5处,图示角1的度数为2*30=60°,根据分针每走一分钟,时针走0.5°,可得25分的时候,时针转动了25*0.5°=12.5°,因此角2等于12.5度,因此真实的3点25分的夹角为60-12.5=47.5°。
通过上面角度的求解,可以看出画出图形,标出位置能够更加清晰的解答,因此在学习数学中,一定要掌握数形结合思想。同时除了数形结合,求钟表时针与分针的夹角还可以利用时针与分针的转速求解,m时n分时,如果夹角小于180°,则夹角度数为|30°m+0.5°n-6°n|,如果夹角大于180度,则夹角的度数为360°-|30°m+0.5°n-6°n|。同学们可以利用上面的解题思路,结合图形推导出上面的公式。
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