必备技能，高中数学三角函数求角度问题的一般方法与技巧

　　0. 必备基础（要点）

　　1) 任意角、弧度制、任意角三角函数定义。

　　2) 同角三角函数基本关系式、诱导公式以及和角、差角、半角、倍角、辅助角的有关公式。

　　3) 三角函数图像、图像变换及其性质。

　　4) 三角恒等变换问题的求解一般方法与技巧。

　　1. 基本问题说明

　　一般地，三角函数求角问题包括：

　　① （知值求角）已知三角函数值、三角函数代数式（等式）等，求解某角度（可能是复合角度，如β-α）的值。这一题型是本文的焦点。

　　② 在三角形中，已知边、角度、三角函数值、三角函数关系式等，求解某角度。这类问题很多时候要用到正、余弦定理，而这是解三角形模块的核心内容（现人教版必修5），所以本文例题不会涉及这两个定理，而只涉及只需简单恒等变换即可求解的问题。

　　2. 解决问题的一般解法

　　如图。除少数简单的题目可直接求解外，多数三角函数求角问题一般可通过上图的三大步的思路来思考和解答——即求角问题可先看作求值问题，之后再把角度求出来。

　　具体地，一般利用“知值求值”方法先求出该角的某个三角函数值，再根据题目条件确定所求角的限定范围，最后求得角度。

　　提示：不同的是，这里的求值问题形式是可选的——你可以选择一个能更便捷求解的三角函数，比如sin方便就选sin，tan方便就选tan。

　　3. 典型例题

　　例1 已知tanα、tanβ是方程x^2 - 3√3x + 4=0的两根,且α、β∈(-π/2,π/2),则α+β= ?

　　解：依题，由韦达定理，

　　tanαtanβ=4,

　　tanα+tanβ=-3√3；

　　∴tanα<0, tanβ<0,

　　∴α、β∈(-π/2,0)，

　　∴α+β∈(-π,0)，(提示：确定角度范围)

　　由tan(a+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

　　= -3√3/(1-4)

　　= -√3，

　　∴a+β= -π/3。

　　(提示：由角度范围可知，该角度应在第四而不是第二象限。若忘了考虑角度范围，则会得出一个2π/3的错解。角度范围或约束问题是三角函数求角、求值问题的易错点，也是常考点)

　　例2在三角形ABC中，2sinA＋cosB=2，sinB＋2cosA＝√3，则角C=___。

　　解法1（常规法）：在2sinA＋cosB=2中，cosB<1，可知sinA>1/2; 而在sinB＋2cosA＝√3中，sinB<1，可知cosA>(√3-1)/2>0，

　　∴π/2 > A >π/6，（提示：先确定角度范围）

　　由2sinA＋cosB=2，

　　4(sinA)^2 + (cosB)^2 + 4sinAcosB = 4，

　　由4sinB＋2cosA＝√3，

　　4(cosA)^2 + (sinB)^2 + 4cosAsinB = 3，

　　上述两式相加得：

　　4 + 1 + 4(sinAcosB + sinBcosA) = 7，

　　∴4sin(A+B) = 4sin(180-C) = 4sinC = 2,

　　即sinC = 1/2，

　　∴则C=π/6。（提示：依据前述角度范围舍去5π/6）

　　解法2（验证法）：依题意，

　　由2sinA＋cosB=2，

　　4(sinA)^2 + (cosB)^2 + 4sinAcosB = 4，

　　由4sinB＋2cosA＝√3，

　　4(cosA)^2 + (sinB)^2 + 4cosAsinB = 3，

　　上述两式相加得：

　　4 + 1 + 4(sinAcosB + sinBcosA) = 7，

　　∴4sin(A+B) = 4sin(180-C) = 4sinC = 2,

　　即sinC = 1/2，

　　∴则C=π/6或5π/6。

　　若C=5π/6，则，A+B=π/6，

　　而在2sinA＋cosB=2中，cosB<1，可知sinA>1/2，

　　∴A>π/6,这与A+B=π/6矛盾，

　　所以所求角C = π/6。

　　例3已知α、β、γ∈（0，，sinα+sinγ=sinβ，cosβ+cosγ=cosα，求β-α的值．

　　解：由已知，得sinγ=sinβ-sinα，cosγ=cosα-cosβ

　　讲解：

　　① 求解本题，三角恒等变换技巧是关键。本题的解题思考、分析过程如下（示例）

　　a) （提示：利用以前讲过的逆向分析方法）由求解问题“求β-α的值”，需知其正弦、余弦或正切函数值；把这三个函数都展开后，你会发现cos(β-α)=cosβcosα+sinβsinα这种形式与已知更容易关联上；

　　b) 根据前一点分析，考虑把已知式变为可知式“sinγ=sinβ-sinα，cosγ=cosα-cosβ”,再两边平方后，可一举两得：不但消去了γ,而且剩下的部分正式所需要的。如此，可形成贯通的解题思路。

　　② 提示：已知cosα-cosβ或sinβ-sinα的和差式时，常可通过平方法得到所需的sinβsinα和cosβcosα。更多三角恒等变换的招法，详见资料《必备技能，高中数学“三角恒等变换问题”的求解一般方法与技巧》.

　　③ 再一次强调，若解题过程中未事先确定角度的象限或范围，则在得出角度值后要进行验证,以确保结果无误。

　　温馨提示：本文属于高中数学《三角函数与平面向量》模块，更多资料正在创作中。欢迎持续关注——点击顶部的“关注”按钮即可关注本号“轻快学习课堂”。关注后有惊喜，不要忘了看系统自动回复的通知信息，以免错过好东西。

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