初二数学：倍长中线，掌握好这几种常见题型，你也能拿高分

　　初二数学，学习完全等三角形的判定之后，几何证明的题目逐渐变难，孩子们的成绩也逐渐两极分化。

　　因为学完全等三角形的判定之后，几何的模型突然多了起来。比如“手拉手模型”等。初二数学：全等三角形必会题型——“手拉手”模型

　　但是更另学生头疼的还是几何辅助线做法。比如：截长补短初中数学：如何采取不同的切入点构造截长补短模型？、倍长中线等。

　　

　　本文将重点讲解辅助线做法——倍长中线。

　　要完全掌握倍长中线这一种辅助线作法，必须要先掌握全等三角形的“8字模型”。如下图：

　　

　　“8字模型”是非常基础的全等三角形模型，当条件改变之后，也要学会恰当地改变全等三角形的判定方法。

　　“倍长中线”必须理解的知识点

　　1、三角形的中线：三角形的顶点和对边中点的连线；

　　2、三角形边长的不等关系：在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

　　3、倍长中线定义：“倍长中线”是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）

　　

　　常见题型一、求三角形中线取值范围

　　

　　【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE=AB，再根据三角形的三边关系即可求解．

　　解：延长AD至E，使DE=AD=3，连接CE．

　　∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=DE，∴△ABD≌△ECD，∴CE=AB=4．

　　在△ACE中，AE=2AD=6，CE=4

　　AE-CE＜AC＜AE+CE，即6-4＜AC＜6+4，∴2＜AC＜10．

　　∴AC的长可以是9

　　故选：D．

　　【点睛】此题综合运用了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一．

　　

　　常见题型二：利用倍长中线证明线段、角相等

　　

　　【分析】利用中线类倍长的基本模型进行证明，结合等腰三角形的性质进行论证．

　　

　　【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及等腰三角形的判定及性质，掌握用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键.

　　

　　例题1、基础模型

　　

　　例题2、提高模型

　　

　　解：延长FD到G，使得DG=DF，连接BG、EG．（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），如图：

　　

　　易证CF=BG，DF=DG，∵DE⊥DF，∴EF=EG．

　　在△BEG中，BE+BG＞EG，

　　即BE+CF＞EF．

　　【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

　　

　　【分析——详细答案见评论区】（1）由已知得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣4＜AE＜5+3，据此可得答案；（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；

　　（3）如图③，延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF＝FG，易证△ABE≌△GEC，据此知AB＝CG，继而得出答案．

　　【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．

　　

　　倍长中线在全等三角形的辅助线做法中，难度不是特别大，相对容易理解和掌握。

　　练习时要记住下面三点：①见中点，先倍长；②证明8字全等；③找关系。

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