国家公务员考试行测备考:数量关系易错点合集之容斥问题
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易错点一:容斥问题 识别难 。
容斥问题是一类计数问题,但计数时必须要注意 不能多数也不能少数,也就是说既要保证去除重复的部分,又要保证 没有遗漏。 在 国省考当中常出现的容斥问题有二集合和三集合两种。 所谓的集合 指 得是在题干中出现的拥有共同属性的一类元素的统称 , 二集合即指两个集合会出现交叉重叠的情况, 比如说麦当劳和肯德基属于两个不同的快餐店,那们他们将代表两个不同的集合,如果出现“都 … ”或者“都不 … ”等字眼时,我们就可以判定是在考察容斥问题 ,然后可以通过设未知数,代入推导出的集合公式进行求解。 接下来我们将带着大家一起来 看一下变型的二集合 容斥问题 是如何考察的 。
【例 1 】 某单位派 60 名运动员参加运动会开幕式,他们着装白色或黑色上衣,黑色或蓝色裤子。其中有 12 人穿白上衣蓝裤子,有 34 人穿黑裤子, 29 人穿黑上衣,那么穿黑上衣黑裤子的有多少人?
A .12 B .14
C .15 D .29
【解析】 分析题目,问穿黑色上衣黑裤子的人数,当中涉及到黑上衣、黑裤子两件不同的衣服,这两件同穿的情况即问题所求,都不满足的情况即为穿白上衣蓝裤子,有相容又有相斥情况存在,因此属于两集合容斥问题。 设穿黑衣黑裤的有 x 人,根据 二集合计算公式: 总人数=黑衣+黑裤-黑衣黑裤+白衣蓝裤,可得 60 = 29 + 34 - x + 12 ,解得 x = 15 。因此,选择 C 选项。
易错点二 : 三集合 题型 区分 难 。
三集合容斥类问题考察相对较为复杂, 题干当中涉及到的三个集合,各个集合之间都会出现交叉重叠的情况, 它的题型分为两种:标准型和非标准型。如何进行区分呢?其实标准型是指题干在给出信息条件时, “ 满足两个条件 ” 的情况数中包含了 “ 三者都满足 “ 的数 据 ,大家换一种理解方式就是,题干所给的数据会很齐全,比如 A ∩ B , B ∩ C , A ∩ C 都会给出具体的数据,遇到这种题目我们统统可判定为标准型三集合 容斥问题 ,解题公式为:总人数 - 都不满足的情况 =A +B+C- A ∩ B -B ∩ C - A ∩ C+A ∩ B ∩ C 。
非标准型与其不同,题干当中会给出“只满足两个条件“的数据,其中不包含“三个条件都满足”的情况,因此在解题时用到的公式也不一样,总人数 - 都不满足的情况 = A +B+C- 满足两个条件 - 2 × A ∩ B ∩ C 。接下来我们将通过真题练习一下:
【例 1 】 有关部门对 120 种抽样食品进行化验分析,结果显示,抗氧化剂达标的有 68 种,防腐剂达标的有 77 种,漂白剂达标的有 59 种,抗氧化剂和防腐剂都达标的有 54 种,防腐剂和漂白剂都达标的有 43 种,抗氧化剂和漂白剂都达标的有 35 种,三种食品添加剂都达标的有 30 种,那么三种食品添加剂都不达标的有多少种?
A .15 B .16
C .17 D .18
【解析】 本题考查容斥问题,属于三集合容斥类,用公式法解题。按照三集合容斥标准型公式,直接设三种食品添加剂都不达标的为 x 种,列出方程: 68 + 77 + 59 - 54 - 43 - 35 + 30 + x = 120 ,解得 x = 18 (可用尾数法计算)。 因此 , 正确答案为 D 选项。
【例 2 】 某高校做有关碎片化学习的问卷调查,问卷回收率为 90% ,在调查对象中有 180 人会利用网络课程进行学习, 200 人利用书本进行学习, 100 人利用移动设备进行碎片化学习,同时使用三种方式学习的有 50 人,同时使用两种方式学习的有 20 人,不存在三种方式学习都不用的人,那么,这次共发放了多少份问卷?
A .370 B .380
C .390 D .400
【解析】 本题考查容斥问题,属于三集合容斥 问题非标准题型 。根据公式:总数= A + B + C -满足两种情况的- 2 ×满足三种条件,可知回收的问卷数= 180 + 200 + 100 - 20 - 2 × 50 = 360 (份)。 已知 问卷回收率为 90% ,则发放的问卷数应该是 360 ÷ 90% = 400 (份)。因此,选择 D 选项。
今天的分享就到这里啦,关于容斥问题的易错点大家学会了吗?国考临近,小伙伴们要抓紧时间多多练习咯,华图讲师祝你早日上岸!
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