2023高考甲卷数学选择压轴题, 函数图像综合, 高一学生表示很简单

栏目:学历教育  时间:2023-07-22
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  2023年高考,四川、云南、西藏、贵州、广西采用的是全国甲卷。全国甲卷还是文理分科的模式,总体来说理科数学的难度要比文科数学高出一截,比如2023年高考甲卷文科数学的选择压轴题,考查的是函数图像的平移变换及函数与方程等知识,而不少高一学生直言很简单。接下来我们一起来看一下这道选择压轴题。

  

  要求函数f(x)的图像与直线y=x/2-1/2的交点个数,我们需要在同一个坐标系中画出函数f(x)的图像及直线,然后再找交点个数。显然,要求解这道题首先要利用函数图像的平移变换得到函数y=f(x)的解析式。

  函数图像的平移口诀是“左加右减,上加下减”。对于这句口诀,“上加下减”不容易出错,但是很多同学在使用“左加右减”解题时却很容易出错,特别是自变量x的系数不为1时。

  举个简单的例子,将函数y=2x的图像向右平移4个单位,得到的是函数y=2(x-4)即y=2x-8的图像,而不是函数y=2x-4的图像。

  

  掌握了这一点后,我们就来先求出函数y=f(x)的解析式。

  将函数y=cos(2x+π/6)向左平移π/6个单位长度,得到y=f(x)=cos[2(x+π/6)+π/6]=cos(2x+π/2)。接下来由诱导公式化简,得到f(x)=-sin2x,然后画出函数f(x)的图像。

  接着,再画出直线y=x/2-1/2,即下图中红色的直线。最后再数两个图像的交点个数即可。

  

  不过,这道题的方法虽然很简单,但是画图像的时候要特别注意,否则就可能出现下图中的两种情况,这样也不能得到正确的答案。

  

  那么如何避免上图中的错误呢?

  其实,方法也很简单,那就是图像要尽量画准确一点。本题中我们先画出了函数f(x)=-sin2x的图像,那么在画直线y=x/2-1/2的图像时就要多找几个特殊点。比如我们需要验证一下当x=-3π/4、x=3π/4以及x=7π/4时,一次函数y=x/2-1/2的函数值,从而更加准确确定直线与函数y=-sin2x的图像的交点。

  

  这道题的难度确实不大,完全就是考查高一函数的知识,对于高一学生来说,做出这道题应该还是比较轻松。不过,这道题难度虽然不大,但是对作图的准确性要求挺高,图像如果画得不准确,那么也就得不到正确的答案了。

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