2005年江苏高考数学压轴题，考查等差数列，高三学生也头疼

　　大家好！本文和大家分享一下这道2005年江苏高考数学压轴题。这道题考查的是等差数列，共有3问，其中第一小问满分2分，第二、三小问满分各6分，共计14分。这道题看起来难度不是很大，都是一些比较常见的形式，但是高三学生做起来也很是头疼。接下来我们一起来看一下这道题。

　　

　　先看第一小问：求A、B的值。

　　这一问应该算是送分题，只要细心一点基本都能做出来。由于A、B是两个未知数，所以需要构造一个二元一次方程组。

　　题干中已知a1、a2、a3，那么也就可以求出S1、S2、S3，所以当x=1时代入题干中的等量关系可以得到一个关于A、B的方程，当x=2时又可以得到一个关于A、B的方程，这样就得到了一个二元一次方程组，从而就可以解出A、B的值。

　　

　　再看第二小问：证明{an}为等差数列。

　　判断一个数列是否是等差数列的常用方法有4个：一是用定义法，即a(n+1)-an=d；二是用通项公式，等差数列的通项公式为关于n的一次函数，即an=kn+b；三是等差中项，即2A=a+b，则a、A、b构成等差数列；四是前n项和，等差数列的前n项和为一个关于n且没有常数项的二次函数。不过，用得最多的还是定义法。

　　

　　再回到题目，题干给出了一个Sn关于n的一个关系式，所以可以利用a(n+1)=S(n+1)-Sn消去S(n+1)、Sn，从而得到两项之间的关系，如下图。不过，得到的这两项之差虽然为常数，但是项之前的系数并不是相等的常数，所以还需要进一步进行处理。即再写出一个递推关系，然后再作差并移项，即可得到后一项与前一项之差相等，从而证明出{an}为等差数列。

　　

　　最后看第三小问：证明。

　　根据第一、二小问可以知道：an=a1+(n-1)d=1+5(n-1)=5n-4。

　　接下来我们用数学分析法证明结论。

　　首先，将不等号左减号后面的式子移到右边，此时不等号两边都是正数，所以可以两边同时平方，所以只需要证明平方后的关系成立即可。

　　接着，用an的通项公式表示出不等式中的各项，展开后就可以化简为20(m+n)-37＞2√(aman)①。

　　然后用基本不等式得到：2√(aman)≤am+an=5m+5n-8。由于①的左边为20(m+n)-37，所以需要将5m+5n-8进行放缩。由题意知，am=5m-4≥1，an=5n-4≥1，所以5m+5n-8≥2，则15m+15n-24≥6，所以15m+15n-29≥1，所以5m+5n-8＜5m+5n-8+(15m+15n-29)，结论得证。

　　

　　这道题就和大家分享到这里，你学会了吗？