2022年新高考数学全国卷II真题分析,圆与直线有公共点问题
这是2022年新高考数学全国卷II的一道填空题,涉及直线的轴对称关系,直线与圆相割或相切的问题。
设点A(-2,3), B(0,a), 直线AB关于直线y=a的对称直线为l, 已知l与圆C:(x+3)^2+(y+2)^2=1有公共点,则a的取值范围为______.
利用图形,或许能找到更简便的解法
分析:第一步,先写出A, B关于y=a的对称点坐标,分别是A’(-2, 2a-3), B(0,a). 因为B点在对称轴上,所以对称点还是它本身。而对称轴平行于x轴的对称点,横坐标相等,纵坐标y1+y2=2a. 其实就是中点坐标公式的应用。
然后写出直线l的解析式,可以先写出点斜式y=-(a-3)(x-a)/2,然后转化成斜截式:y=(3-a)x/2+a,或一般式:(3-a)x-2y+2a=0. 不同的形式,有不同的解法。
列斜截式是为了方便列直线l和圆C的交点方程:(x+3)^2+((3-a)x/2+a+2)^2=1, 因为只要直接代入就可以了。
然后化为关于x的一元二次方程的一般形式:(1+(3-a)^2/4)x^2-(a^2-a-12)x+(a^2+4a+12)=0.
直线l和圆C有公共点,说明这个一元二次方程的判别式不小于0,即:
(a^2-a-12)^2-(4+(3-a)^2)(a^2+4a+12)≥0, 化简不等式:
a^4-2a^3-23a^2+24a+144-a^4+2a^3-a^2+20a-156≥0, 6a^2-11a+3≤0.
解得:1/3≤a≤3/2.
如果你是这样做的话,那你肯定不是一个学霸。相信上面这种方法是比较容易想到的。然而有一种简便得多的方法,应该是利用点到直线的距离公式。依据圆心C到直线l的距离不大于半径时,直线l就与圆C有公共点的原理。这时候就要运用到直线l的一般式了,由点到直线的距离公式列方程得:
|-3(3-a)+4+2a|/√((3-a)^2+4) ≤1. 解得:1/3≤a≤3/2.
瞧,两步就可以解决的问题,老黄一开始用了多少步,走了多少弯路。不过走弯路能解得出来,总比解不出来好,你说对吧?
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