不出意外，动点问题还会是今年中考的热点，考生要做好准备

　　动点有关综合问题是指图形中存在一个或多个动点，它们是在某条线段、射线或弧线上运动的，从而引起另一图形的变化，从运动变化的角度来研究、探索发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理，是一类开放性题目。对考生的观察能力和创新能力要求较高，题目的难度一般比较大，是全国各省市中考数学试题的热点题型。

　　不出意外的话，估计此类试题依然是今年中考命题的热点，解决这类问题的关键是动中求静，在变化中找到不变的性质是解决动点问题的基本思路，这也是动点有关综合问题中最核心的解题思想。

　　动点有关综合问题其特点是集几何、函数等知识于一体，蕴含数形结合等数学思想方法，综合性非常的强。此类问题灵活多变，动中有静，动静结合。

　　中考通过试题的设置，能够在运动变化中考查考生的空间想象能力，起到选拔人才的效果，已经成为中考数学命题的热点，大多数情况都是以压轴题的形式出现。

　　我们通过对试题的分析和研究，发现解动点有关综合问题基本策略：

　　一是学会动中求静，即在运动变化中探索问题中的不变性；

　　二是学会动静互化，抓住“静”的瞬间，找出导致图形或变化规律发生改变的特殊时刻；同时在运动变化的过程中寻找不变性及变化规律。

　　简单地说，解决此类问题要先画出各个关键时刻的图形，再由“动”变“静”设法分别求解。有时候还需要用到分类讨论的思想去解决问题，画出不同种情况的图形，可以帮助我们理清思路，突破关键难点。

　　动点有关综合问题讲解，典型例题分析1：

　　如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，直线l经过O、C两点，点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（11，4），动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A B C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O—C—B相交于点M，当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t > 0），△MPQ的面积为S．

　　（1）点C的坐标为____________，直线l的解析式为_____________；

　　（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．

　　（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值．

　　（4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段BC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N．试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．

　　考点分析：

　　二次函数；一次函数；三角形面积；最值；分类讨论；压轴题。

　　题干分析：

　　⑴由题意不难得出点C的坐标为(3，4)．因为直线l经过O、C两点，所以设其解析式，将点C(3，4)代入，解得k=4/3，所以直线l 的解析式为y=4x/3．

　　⑵求 S与t的函数关系式，关键是确定MP及点Q到MP的距离．根据题意，得OP＝t， AQ＝2t， 根据动点的运动过程，需分三种情况来讨论．

　　⑶根据题（2）中S与t的函数关系，先分别求出①当0＜t≤5/2时；②当5/2＜t≤3时；③当3＜t＜16/3时， t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值．最后综合上述各情况判断得出t为何值时， S的最大值．

　　⑷当NM＝MQ时，△QMN为等腰三角形．

　　考点分析：

　　根据题意合理分类，是学生解题中遇到的难点，也是易错点．用分类讨论的思想来研究动态型题是解此类问题常用的方法．

　　解答动点有关综合问题，我们要认真观察几何图形，彻底弄清楚动点从何点开始出发，运动到何点停止，整个运动过程分为不同的几段，何点(时刻)是特殊点(时刻)，这是准确解答的前提和关键。

　　动点有关的综合问题讲解，典型例题分析2：

　　已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12） 两点，且对称轴为直线x＝4．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．

　　（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；

　　（2）如图1，在直线 y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

　　（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒√2个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒．求S关于t的函数关系式．

　　考点分析：

　　二次函数综合题；综合题。

　　题干分析：

　　（1）利用对称轴公式，A、C两点坐标，列方程组求a、b、c的值即可；

　　（2）存在．由（1）可求直线PB解析式为y＝2x－12，可知PB∥OD，利用BD＝PO，列方程求解，注意排除平行四边形的情形；

　　（3）由P（4，－4）可知直线OP解析式为y＝－x，当P1落在x轴上时，M、N的纵坐标为－2，此时t＝2，按照0＜t≤2，2＜t＜4两种情形，分别表示重合部分面积．

　　解题反思：

　　本题考查了二次函数的综合运用．求出二次函数解析式，研究二次函数的顶点坐标及相关图形的特点，是解题的关键。值得注意的是在计算动点在不同路段的函数解析式，一定要注意注明自变量的取值范围，求出在特殊点的函数数值和自变量的值。

　　动点有关的综合问题一般是指以几何知识和图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题，常见的运动对象有点动、线动、图动；其运动形式有平动、旋转、翻折、滚动等。

　　特别是跟函数有关的动点问题，当点运动到某一特殊位置时，利用某一线段长度或某一图形的面积达到最值，或与某些点构成一个特殊的图形。解题利用函数图象上点坐标的对应关系，用动点的坐标表示出要求图形的数量特征(如线段的长度或图形面积)，再利用函数性质或方程进行求解。

　　举报/反馈