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1道经典初中数学竞赛题:解方程组,正确率不到2%,学霸也发愁
大家好!本文和大家分享一道经典的初中数学竞赛题:解方程组x+y+√[(x+2)(y+3)]=34,(x+2)+(y+3)+(x+2)(y+3)=741。据说这道题的正确率不到2%,不少学霸看了也发愁。下面一起来看一下这道难住众多学霸的竞赛题。
这又是根式方程的题目,所以还是可以用解根式方程的常用方法:换元法。
令:√(x+2)=m(m≥0),则x+2=m,(x+2)=m^4;√(y+3)=n(n≥0),则y+3=n,(y+3)=n^4。为了方便表示,将方程组的两个方程分别标号①和②。
对于方程①,可以变换一下,左右两边同时加5,左边的5又拆成2和3,分别于x和y组合,即可变成(x+2)+(y+3)+√[(x+2)(y+3)]=39,所以原方程组就可以变为关于m和n的方程组m+n+mn=39,m^4+n^4+mn=741。
换元这一步对很多学生来说问题不大,难的是后面的处理,这也是难住考生的地方。
换元后得到的方程组,两个方程形式非常像,但是第二个方程的次数更高,所以可以考虑从第二个方程入手。
先将四次方进行配方,m^4+n^4=(m+n)-2mn,所以左边就变成了(m+n)-mn。仔细观察一下还可以继续用平方差公式进行因式分解,得到(m+mn+n)(m-mn+n)=741,即m-mn+n=19。再联合第一个方程可以得到m+n=7,mn=10。
接下来就需要求出m、n的值了。求m、n的值有两个方法:
一是用m表示n,或者用n表示m,再代入另一个关系式中。比如m=7-n,则(7-n)n=10,再求解。
二是构造一个一元二次方程x-7x+10=0,则m、n就是这个方程的两个根,这样更容易解出m、n。
求解出m、n的值后,就需要求x、y的值了。
因为m=2,n=5或者m=5,n=2,所以√(x+2)=2,√(y+3)=5,或者√(x+2)=5,√(y+3)=2,解得x=2,y=22或者x=23,y=1。这样原方程组就解出来。
本题的难点是换元后对式子的处理过程,实际用到的就是常用的配方法和平方差公式进行因式分解。当然,本题不换元也是可以求解的,但是式子太复杂不容易看出规律,而换元法则将方程进行了简化,方便计算。完整的解题过程见下图。
这道题就分享到这里,你还有什么更好的方法吗?欢迎交流!
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