2022年高中数学必备解题技巧之空间二面角的常见求法

　　高考数学中空间角的求法特别地重要，尤其是直接法作出二面角的平面角，这种方法很多同学掌握得不是特别地好。今天数尘老师把这个空间二面角的常见求法作一个简单的梳理和总结。希望对你的学习有一些帮助。

　　01 二面角的定义

　　定义：从一条直线出发引出两个平面所组成的图形叫作二面角。一个平面垂直于二面角的棱，且与两个半平面的交线为射线，其截面图形为做二面角的平面角。

　　

　　02 二面角平面角的作法

　　二面角的平面角作法：①垂面法；②垂线法，即在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角即二面角所成的平面角；③三垂线法，即利用三垂线定理或逆定理作出平面角。

　　

　　03 二面角的求法

　　二面角求法：①直接法，即先做二面角的平面角，再求解；②射影面积法，即用公式求解；③向量法，即在二面角内取一点，过分别作两个半平面的垂线，则这两条垂线所组成的向量所成的角或补角即为二面角。

　　一、定义法：

　　从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角， 这条直线叫做二面角的棱， 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

　　本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。

　　

　　二、三垂线法

　　三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

　　

　　三．补棱法

　　本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决。

　　

　　四、射影面积法

　　凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（射原）求出二面角的大小。

　　

　　五、向量法

　　向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。

　　

　　高考立体几何大考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查二面角的求法以及利用向量知识解决几何问题的能力，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。

　　最后，如果同学们对例题感兴趣的话，可以自行通过网络拍题软件自行搜答案，以上是在整个二面角常见解法，希望对你的学习有所帮助和提高！

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