孙 娜：把握本质 深度关联 意义建构——《平均分》教学设计与思考

　　原标题：孙 娜：把握本质 深度关联 意义建构——《平均分》教学设计与思考

　　个人简介

　　

　　孙娜，北京市特级教师，中学高级教师，现任北京亦庄实验小学数学教师。北京市经开区“亦麒麟”教育领军人才，经开区兼职教研员，大兴区名师工作室主持人，大兴区课程课程教材评审、指导专家，全国优秀实验教师，中国国培计划培训专家。曾荣获全国第七届深化小学数学教改交流会课堂教学评优一等奖，全国中小学素质教育多媒体综合运用实验研究评优课一等奖，全国小学数学实验教材（人教版）第一届教学改革观摩交流会录像课评比一等奖；先后并为人教社录制课例两节随教材vcd光盘全国发行。科研课题《在责任与智慧课程研发中实现教师专业化发展》成果获全国一等奖，《小学数学有效教学策略研究及个人教学成长案例集》获国家教育部优秀成果奖。

　　本文刊载于《小学教学设计》（数学）2023年第1-2期

　　

　　【课前慎思】

　　一、把握学习起点，正确诠释平均分的教学内涵

　　“平均分”是人教版二年级下册第8~10页的内容，是建立在“分”及“同样多”的基础上学习的，是后续认识除法的重要基础。要突破“除法”学习的难点，关键要理解什么是平均分及平均分的两种不同分法。“平均分”有分配和划分两层含义，从平均分的过程来看有两个不同模型，通常称为“等分除”与“包含除”。那么，作为分配或等分除，核心是什么？学生的困难是什么？这是本节课思考的主要视角。

　　我们要将自己的教学起点放在学生的学习“最近发展区”内。通过课前调查，二年级的学生在实际生活中大多数都有分物品的经历，对“平均分”有些感性认识，能用自己的语言对平均分进行描述，但缺少平均分物的实践经验，只是停留在“分得的结果一样多才公平”的简单层面上，对平均分的过程及方法并不了解，因此本课的教学重点应放在引导学生经历平均分的过程及建构平均分的概念本质上。一个概念的学习，要经历感知—抽象—概括—巩固四个阶段。而感知是小学生获取数学知识的前提，学生只有通过对感性材料的观察、触摸、操作等活动，才能抽象并概括出相应的数学知识。课堂伊始对接学生的认知基础，直接引入平均分，通过一系列的活动，在多元表征的转换中，在思维的变换中，将学生的注意力集中到感知“每份同样多”，当学生在头脑里建立了“分”及“每份同样多”的知识表象时，揭示平均分的概念。再通过动手操作、观察、描述、比较，充分经历平均分物的过程，逐步让学生熟悉平均分的过程及方法，理解到“要根据总数和份数，选择合适的平均分方法，把总数分成若干份，每份分得同样多，没有剩余”的深度，从而真正明确“平均分”的含义。

　　透彻概念，应该突出“每份数、份数”的理解。新教材在乘法的初步认识中取消了对每份数、份数的强化，替代的是求几个几相加是多少，在后续的用乘法解决问题中也不再抽象每份数、份数、总数，这样虽然降低了抽象的难度，但学生在理解除法意义时，在分的过程中对每份数、份数不再像以前那样清晰。失去了前面强有力的铺垫，学生对每份数、份数感到陌生，用数学语言来表达平均分的过程感到困难。所以在《平均分》这节课上，我们需要花一定的时间让学生在具体形象中去感知，在操作中理解，在不断的强化中让学生学会用数学语言来表达“把（ ）平均分成（ ）份，每份是（ ）”。很显然，在等分除的算法中，关键词是两个：一个是“等”，是相等，指的是每份都同样多；还有一个是“分”，即要分的人头数、盘子数等。至于平均分的过程，就是表述的问题，即“把（ ）平均分成（ ）份，每份（ ）个”。这里涉及到要分的总量、分的份数、每份数量，其实就是分配的过程描述。而除法就是这个分配过程的符号化过程。比如，把12个橘子平均分成4份，每份3个，对应的数学符号为12÷4=3，被除数、除号、除数、商的具体含义也是由这句话而来。因此，概念表述起到中介作用，必须重视，否则不利于后续除法的教学。

　　因此，本课的重心在于建立平均分概念。在概念建立中，要抓的核心是“每份相等”和“份”。每份相等，即每份同样多。至于“份”的概念，如6个物体平均分成3份，首先要让学生理清什么是“份”，支撑“份”的外在材料是什么？因此在这里有许多文章要做。如“份”的抽象，“份”是由人数、盘子数、行数抽象而来，让学生明白均分给几人、几盘、几排，都是均分为几份；“份”的图示呢？头像、盘子等直观图就很有必要，教师要组织学生画一画大圈表示盘子数、认一认课件中的大圈表示几份，此时的圈圈点点很关键。因此，笔者在教学中将“平均分8个梨”的判断题进一步挖掘：做了分步处理，先出示三幅图，判断是否平均分，对两幅平均分的图进行描述，然后出示要求进行选择，并组织学生辨析，除了巩固每份同样多外，更侧重的是“份”，平均分为几份。最后小结：平均分除了关注每份是否同样多，还要关注分的份数。

　　在总量和每份数教学中，我们需要关注什么？总量可以是两个层次，一些物体和一个物体，后者根据学生基础进行渗透。每份数要和份数加以区分，如对“9个西瓜平均分成3份”深入一步，与“每份3个”中的两个“3”组织学生进行比较分析。

　　二、基于学情设计教学活动，经历平均分的过程，突出单位化思想

　　例2，是平均分的实践活动（把一些物品按指定的份数平均分）。呈现小学生把18个橘子平均分成6份的情境图，意图突出平均分的过程，体会平均分方法的多样性。但当这个问题展现给学生时，几乎所有学生都能根据已有的乘法口诀经验直接报出结果，直接出现3个3个地分，却没有学生愿意通过分一分来获取答案。因此笔者将教学情境调整为：出示一筐橘子和4个盘子，不告诉学生橘子的具体数量（28个），启动问题“一筐橘子，平均分在4个盘子里，谁来分分看？”让学生自己去思考、商量怎样分。结果每个小组都出现了不同的分法，不仅达成了教学目标，更是对平均分等分除和包含除的两种模型的深化理解，突出了单位化思想。

　　单位化思想就是用统一的“单位（单位体系）”刻画概念、阐明思维过程，强化对概念的理解与应用，使思维过程变得清晰有序。单位化思想贯穿小学数学的始终，包含除中的单位化思想较为明显，但实际上等分除中平均分过程中的每一步（例如2个一份地分）都是按照“标准”分配，所以，单位化思想在这两种除法中都具有重要价值。平均分时“几个几个地分”仍然是单位化思想，只不过这时的“单位”需要不断地调整，没有“分完”之前的每一次“平均分”都可以说是“包含除”。例如“28个橘子，平均分给4个人，每人分得几个？”在平均分时如果直接“7个7个地分”，这就是包含除；如果“1个1个地分”给4人，连续分几次后，发现“分的速度”太慢，调整为“3个3个地分”，可以说每一次“平均分”都有单位化思想，尤其不断调整“每次分几个”的过程，即确定“合适单位”的过程。平均分的思考过程更复杂，其中的“单位”需要灵活调整，最终找到那个合适的“单位（每份数）”。这个调整“单位”的过程是学生深入理解平均分进而理解除法意义的过程，不可忽视。

　　【教学过程】

　　环节一：丰富表征，揭示概念本质

　　1.开门见山。

　　师：同学们，你们平时分过东西吗？有没有听说过一种分法——平均分？你们知道什么是平均分吗？

　　（学生自由发言）

　　2.动手操作，感知“平均分”。

　　师：看来，有些同学对“平均分”有一定的了解，这有6根小棒，谁能一边摆小棒，一边向大家讲清楚到底什么是“平均分”？

　　（学生自由操作后汇报成果）

　　生1：我是这样想的。

　　师：（面向大家）是平均分吗？怎么看出来的？每份都是几根？一起数数看。（圈划每份的数量）数量都相等，也可以说同样多。

　　生2：

　　师：这也是平均分？为什么？他把6根小棒平均分成几份？每份几根？

　　生3：

　　师：谁看懂了他是怎样平均分的？谁能完整地说说把几根小棒平均分成几份，每份几根？

　　

　　小结：不管是分成2份、3份还是6份，只要分的每份同样多就是平均分。

　　3.巩固平均分概念。

　　师：刚才，同学们结合学具边摆边说，明白了什么是“平均分”，真不简单！请看大屏幕，哪幅图的意思是平均分呢？（出示下图）

　　

　　师：为什么西瓜图是平均分？

　　语言训练：一共（ ）个西瓜，平均分成（ ）份，每份（ ）个。

　　师：两个“3”的意思一样吗？上台指指。

　　师：梨图怎么不是平均分？谁能把它变成平均分？（动态操作课件）并用数学语言表达想法：一共几个梨？平均分成几份？每份几个？

　　师：对比三幅图，把8个梨平均分给2个小朋友，哪种分法对？

　　

　　小结：平均分除了关注每份是否同样多，还要关注分的份数。

　　环节二：操作探究，深度建构概念

　　1.动手操作，体会多样分法。

　　师：老师遇到一个难题，这一筐橘子，要平均分在4个盘子里，每盘几个呢？谁能帮忙分分看？

　　（学生小组合作探究，教师拍照记录分法。学生展示交流：每次分几个？为什么这样分？是平均分吗？）

　　生1：1个1个地分，保证每次分得一样多，最后分到每个盘子里的都是7个。

　　生2：开始2个2个地分，发了一轮以后，发现手中还有很多橘子，第二轮大胆地给每人分3个，第三轮更大胆地分给每人3个，但是到最后发现橘子不够了，于是不好意思地把刚刚给每人发的3个要了回来，重新按每人2个发放，结果正好分完。

　　生3：第一次爽快地3个3个地分，第二次3个3个试着分，逐渐慢下来，最后想2个2个地分，数数不够，调整到1个1个地分，正好分完。

　　生4：先数橘子的总数，根据乘法口诀“四七二十八”分。

　　……

　　小结：同学们把一筐橘子平均分成几份时，想出了这么多的分法，可以一个一个地分，还能根据实际情况灵活地调整分的方案，把几个为一份，一份一份地分，真了不起！老师把刚才平均分的过程用图表达出来，仔细观察，它们之间有什么相同和不同之处？

　　

　　生：相同的地方是都是把28个橘子平均分成4份。

　　生：每份都分得7个。

　　生：不同之处是分的方法不同。

　　生：虽然分法不同，但是每次分得都一样多。

　　生：分的次数不同。

　　师：同学们观察仔细，总结到位，我们把一筐橘子平均分成几份时，分的方法不同，但结果相同。

　　2.操作辨析，探究总数、份数、每份数之间的关系。

　　师：老师为每个小组准备了糖果，平均分给组里的每个同学，小组每人几块？看哪个小组分得又对又快！

　　（1）小组汇报

　　

　　（2）问题讨论

　　师：这次分的这么快？用的哪种分法？

　　生：先数总数，用乘法口诀一算就分出来了！

　　师：真奇怪，有的组是每人6块，有的组是5块、3块，各不相同，怎么都是平均分？

　　生：每组中每人分得的个数一样多，就是平均分。

　　师：既然都是平均分，为什么 每人分得的数量各不相同？

　　生：总数不同，每个人得到的就不同。

　　师：观察这些数据，你有什么发现？

　　小结：份数相同的情况下，总数越多，每份分得的就多；总数越少，每份分得的越少。

　　环节三：拓展提升，深化概念理解

　　1.创编生活小故事：在生活中有没有遇到平均分的情况？说一说，填一填。

　　

　　2.分苹果游戏。

　　师：几个苹果？

　　生：4个。

　　师：分给2个人，每人几个？

　　生：2个。

　　师：现在几个苹果？

　　生：2个。

　　师：每人几个？

　　生：1个。

　　师：只有1个苹果，每人多少？

　　生：一半……

　　师：1个苹果也可以平均分给2人，每人几个呢？以后我们也可以用数来表示的。

　　【本文系北京市大兴区教育科学“十三五”规划2020年度课题“基于UbD的小学数学单元结构化教学的实践研究”（编号：20GH-060）阶段性成果。】

　　（作者单位：北京亦庄实验小学）

　　

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