画数学：在画图中生长思维

　　“画数学”意在让学生的思维过程由内隐到外化，借助思维可视化发展学生高阶思维，从知识建构、解题分析和学习体验的角度画出数学的思维轨迹。

　　画图能使抽象的语言信息变得形象生动，这一形式是思维外显的脚手架。然而，现有教材在培养学生画图能力方面存在断层现象，如线段图在中、低年级并未扎实教学，六年级却要作为难题解答的主要支架，导致学生无法驾驭，而且已有的画图教学基本是“教师讲解”的手段，而不是学生学习的方法。

　　基于这样的背景，从2012年开始，我们开展了“画数学”教学的研究与实践，着力于破解以下问题：

　　思考如何从“我会画”的视角强化教材已有画图内容的教学？如何寻找数学思维发展的生长点，探索画图教学断层填补的有效方法与策略？

　　如何有效训练学生的画图技能，让学生的数学思维看得见，进而在大脑中形成“画像”，达到“脚手架收放自如”甚至“不需要画”的程度，促进学生数学核心能力的发展？

　　如何通过全程化、系列化的小学“画数学”课堂教学设计，丰富数学教学的内容与形式，推进数学画图教学的变革？

　　扫描断层，探寻学生“画力”的生长点

　　人教版教材呈现了大量示意图，意在借助直观帮助学生习得新知，对比“画数学”的画图能力目标，人教版各年级教材内容在图示编排和利用上出现了断层。以线段图为例，线段图作为分析数量关系的重要载体，发现有两大问题：一是图示基本用来当作教师分析题意的抓手，在课堂上“出现”过，并没有后续课时让每个学生尝试并学会绘制；二是纵使“出现”也是薄弱的散点，如五年级两个学期就没有出现过线段图，画图能力的培养没有形成一条线展开进阶式练习。

　　因此，通过对各年级“画力”的断层扫描，分析存在的问题，并寻找填补与生长的策略，这是建构“画数学”新课堂的基点。

　　在实践中我们探索应用了以下策略：

　　一是运用“补点成线”的层级式填补策略，画出“解题分析”。通过扫描“画力”断层，抓住画图能力培养的几条主线，进行“补点成线”。仅以线段图为例，就能发现不少断层需要填补（见图）。

　　二是运用“画图成链”的支架式填补策略，画出“知识建构”。在教学中借助知识树、概念图、思维导图，可以帮助学生把零散的知识有层次、有条理地链接在一起，从而提升学生的思维品质，达到自主学习、获得可持续发展的教学目的。但是，教材欠缺这方面的内容设计，需要填补。

　　在知识建构方面，各年级“画力”断层与生长的填补点分析如下：一二年级没有知识整理的图示，低年级学生需要有所感知，在完成单元学习的时候，需要学画知识树的作业；三四年级缺少复习整理的图示学习，缺少概念分析整理体现进阶的图示学习，需要补学简单的概念图，简单的思维导图及作业；五六年级缺少单元复习、知识块复习整理的图式学习，需要继续补学概念图、思维导图及作业。

　　三是运用“以画入境”的具身式填补策略，画出“学习体验”。引导学生创作数学绘本，是以更柔和、更多元的方式呈现数学，寻找数学与学生实际经历的重合点。创作数学绘本可以从简单的数学四格漫画、数学连环画起步，掌握基本的以故事情境表达数学知识的方法。

　　进阶剖析，分解“画数学”的操作要点

　　在“画数学”教学中，必须根据年级差异进行操作指导：

　　一年级重点是画出原生态。如画出数学故事场景，理解特定符号意义所在。通过创设问题，让学生从表达生活故事起步。比如，在回答“我们学过的解决问题中，哪些可以用加法计算，哪些可以用减法计算”这一问题时，无论是画出简单的关系，表征“两部分合起来”或“总数里面去掉一部分”，还是画出问题的基本结构，从信息和问题的角度用上大括号、问号表示两个数学信息和一个数学问题，或者是较为老练地画出图文结合故事，都有一个从模仿到得心应手的过程。

　　到了二年级则要画出辨析味。二年级学生会在“求比一个数多（少）几的数的问题”中见到类线段图——直条图。这类题的出错率较高，甚至到了高年级仍有学生会被“略有变化的表述方式”困扰，所以在起始阶段学会画图分析就显得极为重要。而辨析则是二年级学生学会画图、提升画力并发展思维的重要手段。

　　三四年级重点画好线段图。线段图从三年级开始呈现，成为学生后续解题的重要支架。在学“画”线段图之前，学生首先要学会“看”线段图。一幅完整的线段图包括信息、数量关系和问题，除此之外，还要让学生知道线段图通过线段的长短来表征数量之间的关系。

　　到了五六年级要求学生画出建构力。五六年级学生已经具备一定的推理能力和建构能力，面对问题鼓励学生选择与设计合理的图示帮助解题。

　　着眼素养，优化“画数学”的教学设计

　　教师要具备“画数学”的技能，只有在“画图”中才能学会画图。在简单的问题中学会“画图”，将来才能用“画图”来解决较为复杂的问题，“画图”才会成为一种解决问题的方法与策略。

　　瞄准思维品质，进行“画数学”教学的问题探究设计。高阶思维的一大特点是能反省外显化，要评估思维能力，需要一直介入思维，以思维质量标准为参考来考查思维。就数学思维而言，需要关注思维的清晰性、准确性、关联性以及深度、广度和逻辑性。

　　我们在设计中特别注意以下要素：具体化，画出思维的“清晰性”；重细节，画出思维的“准确性”；重推导，画出思维的“逻辑性”；思联系，画出思维的“广度”；破难点，画出思维的“深度”等。

　　比如学完工程问题，可以设计这样的问题：工程问题难在哪里？解决工程问题的关键是什么？请举例说明，画图分析。

　　学生从已知“路长20米”有具体数据的工作总量入手，用旧知解决工程问题→自己假设工作总量为“1”解决问题→对比沟通，用线段图将假设“1”解决的分数问题与原来的整数问题进行方法上的沟通并验证，归纳出解决工程问题的关键方法→拓展到更难的问题，变形题，分步解决。

　　呈现这样的思考过程，学生思维的深度可见一斑。在教学中，要多问“难点”在哪里？解答的“关键”是什么？

　　强化技能训练，形成“画数学”教学的具体方法设计。“画数学”教学的根本目标是提升学生的思维品质，发展学生的数学核心能力。以七大数学核心能力为出发点，进行具体方法的设计、训练技能，是“画数学”教学的重要内容。实践中我们通过以下举措进行设计：一是涂涂画画，培养数感和符号意识；二是圈圈连连，突破难点，形成运算力；三是借助草图，形成表象，发展空间观念；四是“线”“条”变化，增强数据分析能力；五是画思结合，发现规律，提升推理能力；六是图式归纳，解剖问题，发展模型意识。

　　从“画数学”到“数学化”，目的是更好地让儿童形成符号意识，促进其数学思考，使他们学会数学建模，完善知识结构，从“具象——表象——抽象”的过程中创造世界。

　　双线并进，“画数学”教学的实施路径

　　“画数学”教学的实施有两条路径：课堂教学与课后作业。从教材已有内容的授课到原创填补的练习、复习整合课，再到画图作业，落脚点非常明确。新授课重在直观感知，分析理解；整合课重在填补断层，整合练习课和复习课时间发展画力；画图作业是学生独立画图表达思考的结果呈现，既助力技能巩固，也促进学法提升。

　　有画图能力发展点的教材新授课，可以从新授课例题示意图的呈现方式和功能出发，基于“画图”视角重新设计，改进教法，借助思维可视化发展思维能力。课题组积极开发原创填补课，关注画力“断层”补充画图素材，设计发展画力的原创课例，利用和整合练习课、复习课进行教学，提升“画”的技能，发展思维。如作图技能类，强化作图的规范性和创造性。此外，还关注画图作业，以作业为载体巩固画图技能，展现思考过程，有画图分析作业，让思考过程可视化；有画图说题作业，让画图分析方法共享化；有画图绘本作业，让思维个性表达平台化。

　　“画数学”使儿童长期积累下积极的情感体验，对数学所承载的意义也有更丰富多元的理解，同时，学生通过训练养成了善于运用图形来表征数学问题的良好习惯。之前，学生一旦遇到不会解答的问题，往往就会自动“举手投降”；现在，学生即使碰到“拦路虎”，也会不自觉地尝试用“画”来解决。

　　通过系统的“画数学”训练，还让学生掌握了“学习策略”这种程序性知识。如通过“画数据”解读隐含的有用信息，通过“画推理”提供清晰的思维路径，通过“画对比”辨析直观的通联差异，通过“画验证”培养可视的逆向思维等，最终形成“画像”，达到“不需要画”的境界。

　　从8年前的试点研究，到今天面向区域内外的立体式推广，研究从课堂走向作业——以作业变革推动学习方式变革的经验，正在不断推广到其他学科，有效推动了画图教学的变革，课题的学术影响力也在不断扩大。专著《把数学画出来——小学画数学教学实践手册》已由教育科学出版社正式出版。

　　（作者系数学特级教师、浙江省宁波市奉化实验小学教师。本文为教育部全国十三五规划课题《发展高阶思维的小学数学探究性作业的设计与应用研究》的阶段性成果，立项编号：FHB180591。）

　　专家点评 | 唐彩斌

　　画数学，让思维可见

　　从课堂变革的视角而言，刘善娜提出“把数学画出来”，就是要找到一种适合儿童学习数学的“教与学”的方式。

　　新课程改革以来，我们一直致力于学习方式的改变。但事实上，在日常课堂中依然存在着“讲讲练练”“机械记忆”等状况。让学生动手画出数学，就是改变传统意义的学习方式，让学习真实发生，让思维流淌。

　　在关注学科核心素养的当下，“用数学的语言表达现实世界”已成为基本共识。那么，什么是数学的语言呢？是文字、是算式、是符号，是学生的“画”。在学生的“画”里，融入了学生对数学概念的理解、对数量关系的分析、对空间几何的表象、对数学方法的创意。也许有时学生列不出算式，解不出答案，却能看懂“画”，能“画”出正确的结果。“画”常常是学生个性化解决问题的方式。“画”让每一个孩子的思考变得与众不同，让每一个孩子的思考跃然纸上、呈现画中，让思维可见。

　　“画数学”拓展了作者的研究视域。刘善娜曾带领各地一线教师一起践行“探究性作业”，如今又有了系列研究“画数学”，从课堂的后端开始延伸到了前端，从知识技能的巩固期延伸到了学生概念生发的关键期，为素养本位的数学学习提供了整体解决的参考方案。

　　（作者系特级教师、浙江省杭州市时代小学校长）

　　《中国教师报》2020年05月13日第4版