2021年高考全国甲卷数学压轴题，难住不少考生，方法其实很简单

　　2021年高考已经落下帷幕。在今年高考中，除了湖北武汉高考作弊事件外，人们讨论最多的无疑是今年的高考试题。比如全国甲卷物理的“减速带”题目，比如全国甲卷考试后网上流传的“全国卷三，让山里的孩子走不出大山；全国卷三，成就大专”等等。

　　今年的高考虽然已经结束，但是今年的高考真题对于后面的学生却有非常重要的意义，因为真题透露出了命题的一些变化，这是以后的考生需要重视的。本文就和大家分享一下今年全国甲卷(即全国卷三)的数学压轴题。这道题难住了不少考生，但是方法其实很简单，都是平时常用的方法。

　　先看第一问。

　　要求函数f(x)的单调区间，只需要先求出f(x)的导数f'(x)，再根据导数的正负来判断单调性。

　　这一问的难度不大，只要能够熟练求出f(x)的导数，讨论单调性就简单了。

　　再看第二问，介绍两种解法。

　　解法一：

　　曲线y=f(x)与直线y=1有两个交点，就等价于方程x^a/a^x=1有两个根。将方程进行转化，得到：x^a=a^x。然后两边同时取自然对数，得到：xlna=alnx，即(lnx)/x=(lna)/a有两个根。接下来需要找到(lnx)/x的取值范围。

　　构造函数g(x)=(lnx)/x，求导：g'(x)=(1-lnx)/x^2。

　　当x在(0,e)内时，g(x)为增函数；

　　当x在(e,+∞)时，g(x)为减函数。

　　所以g(x)的最大值为g(e)=1/e。

　　又当x趋近于正无穷时，g(x)趋近于0且g(1)=0，所以要使(lna)/a与g(x)有两个交点，则0＜(lna)/a＜1/e，解出a的取值范围即可。

　　解法二：

　　y=f(x)与y=1有两个交点，就等价于函数g(x)=f(x)-1有两个零点。

　　先对g(x)求导，得到g'(x)=(a-xlna)x^(a-1)/x^a，其中x^(a-1)与x^a恒为正数。

　　当0＜a＜1时，a-xlna＞0，即g(x)为单调递增函数，那么此时g(x)最多只能有一个零点，不合题意，舍去。

　　当a＞1时，g(x)在(0,a/lna)上单调递增，在(a/lna,+∞)单调递减，所以g(x)的最大值为g(a/lna)。

　　又当x趋近于0+时，g(x)趋近于-1；当x趋近于正无穷时，g(x)也趋近于-1，所以g(x)要有两个零点，只需要最大值大于0即可，即g(a/lna)＞0。

　　将上面这个不等式转化后可得：(1-1/lna)lna＞lna(lna)。令t=lna，代入就可以得到t-1＞lnt，而根据常用的放缩可以知道t＞0且t≠1，从而求出a的取值范围。

　　今年全国甲卷的数学题整体难度比较大，但是这道压轴题的难度实际上并不算太大。你觉得呢？

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