8年级数学重难点｜全等三角形是只小怪兽，打败它的通关秘籍

　　8年级是初中阶段重大转折点，本不想去说那个词——两极分化，但我们又必须面对现实，不仅如此，我们还要争取在两极分化的浪潮中，逆水行舟，不断向前！从往年的孩子身上总结的经验教训，要会学习、总结经验教训，只有这样，咱们才能站在前人的肩膀上，不断奋进！

　　今天呢，我就想跟大家好好聊一聊这学期重点重要知识，那头叫“全等三角形”的小怪兽！

　　全等三角形可以说是8年级学期最重要也是最难的知识点，没有之一，这种题目可以简单到得分率100%，也可以难到在附加题中直接让人望而却步。

　　“全等三角形”这种生物的演化过程如下：

　　绿色的属于幼崽期，这时的全等三角形比较简单，攻击力较低，对广大同学们几乎不会造成什么危害，一般只会在选择填空或是大题的前几道题出没。

　　蓝色的属于成长期，这个时期的全等三角形已经需要一些分析手段才能拿到满分，一些基础知识不扎实的同学已经开始丢分。

　　红色的属于成熟期，这个时期的全等三角形已经颇具威力，综合能力很强，已经开始在压轴题的位置出没，对大多数同学而言都是具有较大威胁。

　　一.让我们来看一看这类题目幼崽期的形态：

　　1.如图，∠A=∠D，∠1=∠2，添加下列条件，可使△ABC≌△DEF的是（　　）

　　A．AF=DF B．AB=DE C．AB=EF D．∠B=∠E

　　2.已知△ABC的六个元素如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中与△ABC全等的是（　　）

　　3.如图，有下列条件：①BD=DC，AB=AC；②∠ADB=∠ADC，∠B=∠C；③∠B=∠C，∠BAD=∠CAD；④∠B=∠C，BD=DC其中，不能证明△ABD≌△ACD的是______（填序号）

　　4.已知：如图，∠ABC=∠DCB=90°，AB=DC，点E、F在BC上，请添加一个条件，使得△ABF≌△DCE．请写出添加的条件，并证明△ABF≌△DCE．

　　5．已知：如图，点A，B，C，D在一条直线上，AB=CD，AE∥FD，且AE=DF．求证：∠E=∠F．

　　如何？是否会觉得很简单？确实，这一些题目都是都是相对简单的，而且主要考察的是基本概念，基本方法，是孩子们必须拿到满分的题目。

　　全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．

　　二.接下来看一下这类题目成长期的形态

　　6.已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，下列说法：

　　①AD平分∠EDF；②△EBD≌△FCD；③BD=CD；④AD⊥BC

　　其中正确的有（　　）

　　A．1个 B．2个

　　C．3个 D．4个

　　7．如图，AD⊥CD，AE⊥BE，垂足分别为D，E，且AB=AC，AD=AE．则下列结论

　　①△ABE≌△ACD

　　②AM=AN：

　　③△ABN≌△ACM；

　　④BO=EO．

　　其中正确的有（　　）

　　A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

　　8.如图，点D在△ABC的中线AM的延长线上，若使△AMC≌△DMB，则需添加的一个条件是_____（只写一个即可，不添加辅助线）

　　9．如图，C，D和E，B分别是∠MAN的边AM和AN上的两点，且AC=AB，AD=AE，CE和BD相交于F点，给出下列结论：①△ABD≌△ACE；②△BFE≌△CFD；③F在∠MAN的平分线上．其中正确的是________．

　　10.如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．

　　（1）问线段EC与BF数量关系和位置关系？并给予证明．

　　（2）连AM，请问∠AME的大小是多少，如能求写出过程；不能求，写出理由．

　　11.如图，AD=AE，∠ADC=∠AEB，BE与CD相交于点O．

　　（1）在不添加辅助线的情况下，由已知条件可以得出许多结论，例如：△ABE≌△ACD、∠DOB=∠EOC、∠DOE=∠BOC等．请你动动脑筋，再写出3个结论（所写结论不能与题中举例相同且只要写出3个即可）

　　①________，②________，③________；

　　（2）请你从自己写出的结论中，选取一个说明其成立的理由．

　　

　　三．最后观摩一下这类题目成熟期的形态

　　12.如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．

　　（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；

　　（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．

　　13.如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

　　（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，

　　①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为______，线段CF、BD的数量关系为______；

　　②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；

　　（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．

　　如上，这些题目的综合性很强，需要同学们对于模型很好的敏感度，对于题目强大的分析和判断能力，而这一切，对于很多同学来说，是要通过一个甚至半个学期就要急速建立起来的，因此孩子们的压力可想而知！

　　在此，给各位同学一些建议:

　　1.规范格式

　　在刚开始接触全等三角形证明题目的时候，步骤一定要完善，全等三角形的5种证明方法（SSS SAS ASA AAS HL）最好能够写在证明结果之后，相信学校老师也会严格要求大家。不要怕麻烦，也不要草草了事。只有基础做熟练，我们才能更进一步地去训练难题。

　　2.记忆模型

　　很多题目的的图都有相似之处，其方法和思路也有规律可循，我们将这些点总结起来，就形成了模型。在全等这个阶段，模型的积累非常重要，很多几何好的同学都是因为自己在课下整理做过的几何题，并且找到共通之处，总结出模型。比如，角分线模型、手拉手模型、旋转模型等，这些都是为你期中期末考试增分加码的东西。

　　3.多见题型

　　正如第二点所说，记忆模型很重要，而这也是建立在有一定的题量储备的前提下，做题——总结题型——应用，这才是学好几何的方法。不下水是永远学不会游泳的，所以，所有的理论、经验都要和实践相结合。因此，辅导资料，练习册，还是有所裨益的。

　　4.一题多解

　　普通同学做一道是一道，学霸们做一道顶三道，很多题目解法不止一种，对于这种题目不要局限于“做出来就行”而是“这题还能怎么做”。当你手里握着10种方法，你就能比只会3种方法的同学游刃有余，因为你的思维更活跃、视野更开阔！

　　5.辅助线

　　这是真正体现数学能力的地方！走路容易开路难，辅助线的添加是要根据具体的条件、图形和要证明的结论综合判断分析得到的，如果上面4点都做好了，那么你就成功了一半，剩下的就是需要专业的指导和总结分析，这一点，要么靠自己去琢磨，要么等着老师去讲解。但是，前提是，前4点已经做得很好才可以！

　　（以上列举题目参考答案：

　　1. B． 2. B． 3.④

　　4.提示:根据全等三角形的判定方法解决问题即可（答案不唯一）；

　　5．提示：根据平行线的性质可得到∠A=∠D，根据等式的性由已知AB=CD可得AC=BD，从而可利用SAS来判定△AEC≌△DFB，再根据全等三角形的对应角相等即可得到∠E=∠F．

　　6. D．7． B．

　　8.AM=DM或∠MAC=∠MDB或∠MCA=∠MBD或AC∥DB

　　9．①②③

　　10.【提示】（1）先由条件可以得出∠EAC=∠BAE，再证明△EAC≌△BAF就可以得出结论；

　　（2）作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．由△EAC≌△BAF，推出AP=AQ（全等三角形对应边上的高相等）．由AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，可得AM平分∠EMF；

　　11．【提示】本题是开放题，应先确定选择哪对三角形，再针对三角形全等条件求解，做题时要结合已知条件在图形上的位置进行思考．

　　12.【提示】（1）利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，即可判断三角形的形状；

　　（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，∠FDC=90°，即可得出∠FCD=∠APD=45°．

　　13. 【提示】（1）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD．结合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．

　　（2）当∠ACB=45°时，过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由（1）①可知CF⊥BD．）

　　今天跟大家说到这里，希望各位家长及同学能够认真地对待全等三角形的学习，它不仅仅是期中期末考试的重点，而且对于八年级要学习的四边形也有着非常重要的意义！

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