2022年北京中考数学压轴题，定义新的图形变换，很有挑战性

　　2022北京中考数学的压轴题，给考生设计了一个极大的挑战，恐怕会成为很多考生的噩梦，不过老黄觉得这题出得相当有水平。能解决这种问题的考生，对他来说，高中数学应该也不会有什么难度。题目定义了一种新的图形变换规律，并要求考生利用这个规律解决问题。前两个问题照例应该算是送分题，可第二小题就相当考能力了。

　　在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b), N.

　　对于点P给出如下定义：将点P向右(a≥0)或向左(a<0)平移|a|个单位长度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度，得到点P’,点P’关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”.

　　(1)如图，点M(1,1)，点N在线段OM的延长线上，若点P(-2,0),点Q为点P的“对应点”.

　　①在图中画出点Q; ②连接PQ，交线段ON于T点，求证：NT=OM/2.

　　(2)⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON=t(1/2<t<1)，若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ. 当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差(用含t的式子表示).

　　

　　解：(1)①如图：

　　

　　【因为a=1>0，所以P点向右平移了一个单位长度，又b=1>0，所以P点继续向上平移了一个单位长度，得到P'点.】

　　证明：②边接PP’，则PP’//ON，【因为两条直线的斜率都等于1】

　　P’, Q关于T对称，∴N平分P’Q, 【即点N是P'Q的中点】

　　∴NT=PP’/2,【三角形中位线定理的应用】

　　在平行四边形OPP’M中，PP’=OM，∴NT=OM/2.

　　分析：(2)如果M是圆上的任意点，这个问题就是噩梦级的。由于图形是可以旋转的，且旋转后不改变图形中各点间的关系。所以我们可以把M点旋转到x轴上，这样的M点有两个，记为M1和M2. 对应的，就有两个N点，记为N1和N2.

　　如果P点是坐标平面上的任意点，这个问题依然是噩梦级的。我们一定要探究出，当PQ最长和PQ最短时，P点的位置特点。

　　由第(1)小题的图形可以将P',Q理解为圆N上的两个点。PQ的最大值，就可以理解成点P到圆N上的最大距离。显然，当PQ过N点的时候，PQ就最长。这时，P, P', M, N, Q五点在同一直线上。由于M点有两个，通过作图比较，可以发现，当P和M在y轴的异侧时，PQ最大。而P和M在y轴的同侧时，PQ正好最小。可以任意改变M点的位置 ，使P,M,N不在同一直线上，你就会发现，PQ变得更长了。当然，这些都只需分析出来就可以了。如果需要证明，这道题就是噩梦的平方级了。

　　做出草图如下：PQ1最短，PQ2最长。

　　

　　其中，M1(1,0), N1(t,0), M2(-1,0), N2(-t,0).

　　设P(p,0), 则P1’(p+1,0), Q1(2t-p-1,0),P2’(p-1,0), Q2(-2t-p+1,0),

　　|PQ2|-|PQ1|=|Q1Q2|=(2t-p-1)-(-2t-p+1)=4t-2.

　　解：(2)PQ长的最大值与最小值的差为4t-2.

　　事实上，这道题仍有许多值得思考的地方，可以说是解完之后，仍回味无穷。你觉得呢！

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