初二数学:一次函数的动点最值问题不会求?利用轴对称性质很简单
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利用函数图像求三角形周长的最小值是初二数学的重要题型,本文就例题详细解析这类题型的解题思路,希望能给初二学生的数学学习带来帮助。
例题
如图,已知点C(-1,0),直线y=x+4与两坐标轴分别交于A,B两点,D,E分别是AB,OB上的动点,求△CDE周长的最小值。
解题过程:
取点C关于直线AB的对称点F,点C关于y轴的对称点G,连接AF、DF、EG
根据轴对称的性质和题目中的条件:点C、F关于直线AB对称,点C、G关于y轴对称,则AF=AC,DF=DC,EC=EG,CO=GO;
根据结论:DF=DC,EC=EG,△CDE周长=DC+EC+DE,则△CDE周长=DF+EG+DE;
所以,当F、D、E、G四点在一条直线上时,△CDE周长取到最小值FG;
根据题目中的条件:直线y=x+4与两坐标轴分别交于A,B两点,则当x=0时,y=4,当y=0时,x=-4,即点A的坐标为(-4,0),点B的坐标为(0,4);
根据题目中的条件和结论:A(-4,0),B(0,4),C(-1,0),则AO=4,BO=4,CO=1;
根据轴对称性质:点C、F关于直线AB对称,点C、G关于y轴对称,则CF⊥AB,∠OAF=2∠OAB,CG⊥y轴;
根据结论:AO=4,BO=4,∠AOB=90°,则∠OAB=45°;
根据结论:∠OAF=2∠OAB,∠OAB=45°,则∠OAF=90°;
根据结论:AO=4,CO=1,则AC=AO-CO=3;
根据结论:AF=AC,AC=3,则AF=3;
根据结论:∠OAF=90°,AF=3,AO=4,则点F的坐标为(-4,3);
根据结论:CG⊥y轴,x轴⊥y轴,则点G在x轴上;
根据结论:CO=GO,CO=1,点G在x轴上,则GO=1,点G的坐标为(1,0);
根据结论:AO=4,GO=1,则AG=AO+GO=5;
根据勾股定理和结论:∠OAF=90°,AG=5,AF=3,FG^2=AG^2+AF^2,则FG=√34;
结语
解决本题的关键是利用轴对称性质得到线段和角度间的等量关系,同时构造出直角三角形,根据坐标与线段长度间的关系,得到直角三角形的边长,再利用勾股定理就可以求得题目需要的值。
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