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2022年广州中考数学压轴题,“吃着饭里要看着锅里”,才能简便!
2022年广东省广州市中考数学的压轴题,有人说很容易,老黄觉得挺难的。题型也比较新。我们经常说,不要“吃着饭里的,要看着锅里的”。但有时候解数学题,就是要学会“吃着饭里 要看着锅里”,才能简便解决。
如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120度时,AB=6,连接BD.
(1)求BD的长;
(2)点E为线段BD上的一动点(不与点B、D重合).点F在边AD上,且BE=根号3 DF.
①当CE⊥AB时,求四边形ABEF的面积;
②当四边形ABEF的面积最小时,CE+根号根号3 CF的值是否也最小?如果是,求CE+根号3 CF的最小值;如果不是,请说明理由.
分析:(1)求BD,只需依据一个定理“含120度的菱形,120度所对的对角线是边长的根号3 倍”。
(2)解决①的一般方法是把相关的边都求出来,然后利用四边形ABEF的面积等于三角形ABD和三角形DEF的面积差,就可以解决了。也不难。问题是,如果这样解的话,相当于把“这碗饭”吃完,再新去勺一碗的时候,又要再辛苦地吃下一碗。因此,这里必须“吃着碗里看着锅里”。观察发现:
②需要求四边形ABEF面积最小时的情况。因此,要在①的解决过程中,构造四边形ABEF面积的函数。通常是二次函数。这样两个问题才能联系起来,一会儿吃第②碗饭的时候,就会简便得多了。
解:(1)BD=2AB·cos30度=根号3 AB=6根号3. 【直接写成BD=根号3 AB=6根号3,老黄觉得也没有什么违和感】
(2)①记CE交AB于点G,过F作FH⊥BD于H,则FH=DF/2.
DE=BD-BE=6根号3-根号3DF, 【这是“吃着碗里看着锅里”的设计,就是要用四边形面积表示DF的函数】
CG=BC·sin60度=6根号3, S△ABD=S菱形ABCD/2=CG·AB/2=9根号3.
又BG=BC/2=3,BE=BG/cos30度=2根号3,DF=BE/根号3=2.
S△DEF=FH·DE/2=DF(6/根号3-根号3DF)/4=2根号3.
S四边形ABEF=S△ABD-S△DEF=7根号3. 【这里是可以得到S四边形ABEF关于DF的二次函数的】
②是的,理由如下:
由①有S四边形ABEF=根号3 (DF-3)2/4+27根号3 /4, 【直接用顶点式,最值的情况一目了然】
当DF=3,即F是AD的中点时, S四边形ABEF最小, 且CF垂直于AD,所以CF最短,
此时点E是菱形ABCD的中心. 且CE垂直于BD,所以CE最短,
CF=根号3 DF=3根号3, CE=BC/2=3,
CE+根号CF=3+9=12最小.
你了解这种“吃着碗里看着锅里”的方法了吗?如果不这样做,肯定要做不少重复劳动的。
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