二次函数的三种表达式
二次函数的定义
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax^2+bx+c,则称y为x的二次函数。
其中,a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,aIaI(a的绝对值)还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
二次函数的表达式
二次函数一共有三种表达式,分别为:
1. 一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);
2. 顶点式:y=a(x-h)^2+k ,其抛物线的顶点为P(h,k);
3. 交点式:y=a(x-x?)(x-x?) ,交点式仅适用于与x轴有交点A(x?,0)和B(x?,0)的抛物线;
这三种表达式中的参数可以进行互相转换,参数转换公式如下:
h=-b/2a;k=(4ac-b^2)/4a;x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a。
一般情况下,在研究抛物线图像时,会通过配方将一般式化为顶点式,因为二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k(各式中,a≠0)的图像形状相同,只是位置不同:
1. 当h>0时,y=a(x-h)^2的图像可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到;
2. 当h时,则向左平行移动|h|个单位得到;
3. 当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图像;
4. 当h>0,k
5. 当h0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图像;
6. 当h
二次函数的图像
二次函数的图像是一条“抛物线”,其图像有以下性质:
1. 抛物线是轴对称图形,对称轴为直线x=-b/2a,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴;对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P;
2. 抛物线有一个顶点P,其坐标为:P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a),当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上;
3. 二次项系数a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,aIaI(a的绝对值)还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大;
也就是说,对于抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时,y随x的增大而增大;若a
那么我们可以得到抛物线y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a
4. 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:
1)当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
2)当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;
5. 常数项c决定抛物线与y轴的交点(0,c);
6. 抛物线与x轴交点个数:
1)Δ=b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;
2)Δ=b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;
3)Δ=b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。
二次函数与一元二次方程
当二次函数的“y”为0时,二次函数就变成了关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0,此时,二次函数图象与x轴有无交点就变成了一元二次方程有无实数根。
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