您想过这样的问题吗？2022年高考数学理科全国乙卷，真题分析！

　　2022高考数学全国理科乙卷的选择压轴题，是一道与函数性质相关的问题。这道题有很多思路，但是思路太多反而容易乱，所以，它要求考生有最清晰的思路。

　　已知函数f(x), 日本据 g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5, g(x)-f(x-4)=7, 若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则∑(k=1->22)f(k)=.

　　A. -21; B. -22; C. -23; D. -24.

　　分析：(1)最朴素的思路是分别求出f(1), f(2), f(3), ……, f(22). 然后再求它们的和。感觉这样不太可能，所以大胆猜想，f(x)具有周期性，那么就只需要求它在一个周期内各自然数对应的函数的和，就可以得到最后的答案了。

　　推理的方向就往证明“f(x)是周期函数”去。首先，因为g(x)的图像关于直线x=2对称，这点很关键，不论用什么思路，基本上都要从这一点出发的。所以g(2-x)=g(2+x).

　　因为f(x)+g(2-x)=5, 所以把x替换成-x，可以得到f(-x)+g(2+x)=5，所以f(-x)=f(x). 这就得到f(x)是一个偶 函数。

　　当x=0时，f(x)+g(2-x)=f(0)+g(2)=f(0)+4=5，从而解得f(0)=1.

　　由 g(x)-f(x-4)=7, 可以得到g(2-x)-f(-x-2)=7，就是用2-x替换掉前面的x，从而有g(2-x)=f(-x-2)+7，代入f(x)+g(2-x)=5，可以得到：f(x)+f(-x-2)=-2. 而当x=-1时，就有2f(-1)=-2. 所以f(1)=f(-1)=-1. 到这里我们才仅仅求得22个函数值的第一个。

　　又 f(x)+f(x+2)=-2, 所以f(x+2)+f(x+4)=-2，前面两式相减，可以得到f(x+4)=f(x)，这就证明了f(x)是一个以4为周期的函数。

　　由 f(0)+f(2)=-2, 可得f(2)=-3, 又f(3)=f(-1)=f(1)=-1，f(4)=f(0)=1.

　　因此从1到22中，有6个函数值等于f(1)，6个函数值等于f(2)，5个f(3)和5个f(4)，求得结果是-24, 选D.

　　

　　其实上面的思路，完全是摸着石头过河，每次下手，都不能确保摸到指定的“石头”，那么如果摸到其它“石头”，能过得了“河”吗？那当然可以了，下面老黄用另一种思路，摸着不同的“石头”，再过一次“河”，给大家看看！

　　(2)不知道大家有没有发现，思路(1)中有一个结论，f(x)+f(x+2)=-2，这也是这道题的另一种思路。因为f(1)+f(2)+f(3)+……+f(22)可以拆分出若干这样的关系。但是一定要注意的是，由于f(1)到f(22)只有22个数，不是4的倍数，所以这样的拆分，是不完美的。只有把f(1)和f(2)单独求出来，后面才能组合成10组结果等于-2的关系。这个思路老黄并不是从思路(1)中提炼出来的，而是一开始就有的。

　　首先，还是要依据g(x)的对称性，有 g(2-x)=g(2+x), g(x)=g(2-(2-x))=g(2+(2-x))=g(4-x),

　　然后依据g(x)-f(x-4)=g(4-x)-f(x-4)=7, 可以推导出g(-x)=f(x)+7. 从而有g(2-x)=f(x-2)+7.

　　所以f(x)+g(2-x)=f(x)+f(x-2)+7=5, 即 f(x)+f(x-2)=-2, 这就相当于思路(1)中的f(x)+f(x+2)=-2. 接下来单独求f(1)和f(2). 也可以求f(0)和f(-1).

　　f(0)+g(2)=5, ∴f(0)=1, f(-1+2)+f(-1)=-2, ∴f(2)= -3,

　　又f(-x)+g(2+x)= f(-x)+g(2-x)=5, ∴f(-x)=f(x), f(x)是偶 函数,

　　f(x)+f(x-2)=f(x)+f(2-x)=-2, 当x=1时, 2f(1)=-2, ∴f(1)= -1, ∑(k=1->22)f(k)=10×(-2)+(-4)=-24.

　　

　　越到后面，两种思路摸到的“石头”就越来越相似，这也是“殊途同归”的道理，很正常的。最后一个问题，您知道这道题两个函数的图像分别是什么样子的吗？高考中我们当然不去考虑这个问题了，但平时如果也不考虑的话，以后高考的考生，说不定就得到考场上去考虑了。

　　下面是老黄推导出来的两个函数的图像：

　　

　　写这种文章，出错的概率特别大，老黄又是一个非常容易出错的人，所以如果有什么错漏，欢迎指正，并请多多谅解！

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