原创为什么数学试卷里的压轴题特别难？因为老师们也都在胡做

　　原标题：为什么数学试卷里的压轴题特别难？因为老师们也都在胡做

　　丘成桐：奥数总会考一些刁难的问题，校外培训班就教你办法，不停地练习，背熟了，才能考过。我们不做这样的事。（丘成桐：《中国教育培养出大师的时间到了》）

　　韦东奕：数学竟赛需要仔细耐心、持之以恒精神。通过竟赛题还能得到一些启示，有些题并不是特別难，但比较复杂，这就需要做题者有耐心，而耐心不仅在做题时有用，在生活中也是必不可少的。当题目比较复杂时，还需要冷静分析，正确理解题意，而不要被表面现象吓到。题目形式比较筒单时，也要冷静，不要一看就写，想得不仔细就写的时候发现可题，有时还不好改正。这说明要有严谨的思维，遇事要冷静，要做好困难的准备。做一些题时需要设立中间命题或分情況讨论，对大目标要分成若干个小目标来完成，要善于把困难化解成小部分，遇到特別难的题或认为这个题得想很长时间时，可以把它先放过，等到最后做，这说明做事要有取舍。（韦东奕：《对数学竞赛的几点思考》）

　　为什么数学卷子的最后一道题（压轴题）特别难？因为老师们也都在胡做胡教[呲牙]学生也就只能跟着胡做，大家都沉浸在稀里糊涂之中，所以感觉压轴题特别难。

　　不信？

　　让我们看一道压轴题，和这道题的标准答案，以及新东方和作业帮的老师们所补充的答案。看过之后，你就会同意我所说的。

　　这道压轴题是《阳光学业评价七年级数学下册》的最后一道大题，它也是2020年广州越秀区七年级上学期期末考试的最后一道大题：

　　《阳光学业评价-七年级数学上》最后一道题

　　如图，数轴上点A，C对应的实数分别为﹣4 和 4，,线段AC = 8cm，AB = 2cm，CD = 4cm.若线段AB以3cm / s的速度向右勺速运动，同时线段CD以1cm / s的速度向左匀速运动.

　　①问运动多少 s 时BC = 2cm ？

　　②线段AB与线段CD从开始相遇到完全离开共经过多长时间？

　　③P是线段AB上ー点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式BD - AP = 3PC（BD = AP + 3PC） ？若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由.

　　《阳光学业评价-七年级数学上》最后一道题的答案

　　①和②的答案是对的，老师们会做的题我们就不掺和浪费时间了。

　　我们直接看③吧，③是独立的，不需要以①和②作为解题的条件，这道题应该分为六种情况进行计算，而《阳光学业评价》只计算了其中的两种情况就武断地得出了“标准答案”，虽然PD的值是对的，但给出的论证过程是不充分不完整的，因为理由不充足，所以学生们都陷入了稀里糊涂之中：

　　学生在作业帮上的提问

　　学生在作业帮上的提问

　　现在我把这道题的详细论证写出来，顺道纠正老师们所犯的错误。

　　各点之间的距离及相遇的时间

　　《阳光学业评价》没有给出的情况001：点B与点C重合，点P不与点A重合，0＜PC＜2

　　假设 BD = 3PC + AP 存在

　　则 BD = CD = 4

　　则 BD = AP + 3PC = AB + 2PC = 2 + 2PC

　　2 + 2PC = 4

　　PC = 1

　　AP = AB - PC = 2 - 1 = 1

　　把PC = 1和AP = 1代入BD = AP + 3PC

　　4 = 1 +3x1

　　BD = AP + 3PC 存在

　　当AP = 1、PC = 1，点B与点C重合时，等式BD = 3PC + AP存在

　　此时PD的长度是：PD = PC + CD = 1 + 4 =

　　5

　　cm

　　我们看看为什么PC的范畴是0＜PC＜2

　　如果点P、B、C三点重合

　　3PC将无意义，因为点P、B、C重合，就不存在线段PC了

　　所以PC必须大于0

　　AP = 0 也得排除，因为点A、P重合，就不存在线段AP了

　　如果 AP = 0

　　则 PC = 2

　　所以还得必须排除 PC = 2

　　如果 PC = 2

　　则 AP + 3PC = AP + 6

　　AP + 6 ＞ BD

　　2PC已等于BD了，3PC将远远超过了BD

　　BD = AP + 3PC 将不存在

　　所以 PC ≠ 2

　　但是新东方和作业帮上的老师们在这种情况下，所给出的PC的范畴却是 0＜PC ≤ 2 ：

　　新东方提供的2020年广州越秀区七年级上学期试卷答案

　　作业帮在这道题下边有好几十个答案，也就是说有好几十个老师都做了回答，我粗略看了一下，他们的答案在此类问题上都是错误的，虽然他们比《阳光学业评价》的老师考虑的多了一些，但他们的答案也都带有各种离谱的错误，大多数老师所考虑到的情况都只比《阳光学业评价》提供的情况多了一两种而已，那些答案没有一个是完整的，这里我就不一一展示了，只随便贴3个上来吧：

　　作业帮提供的答案

　　作业帮老师提供的答案

　　作业帮老师提供的答案

　　另外，这些老师们把时间也都算错了，那些时间节点t = 3、3 ＜t ＜ 13/4、t = 7/2可能是老师们从其他类似题目里拷贝过来的，正确的时间应该是t = 3/2、t = 2、3/2 ＜t ＜ 5/2（我在图“各点之间的距离及相遇的时间”中已标明了），所以搞得同学们一头雾水：

　　学生在作业帮上的提问

　　其实这道题只考虑距离变量就足够了，跟时间和速度没啥关系。虽然时间变量是存在的，但它不构成解题所需的必要条件，纳入时间只会增加毫无用途的计算量。所以我们完全可以不去理会时间变量，从而简化计算量，这一点《阳光学业评价》的老师们看出来了，而新东方和作业榜的老师们都没能看明白。

　　《阳光学业评价》已经有了的分析但没说清楚002。点B在CD上，且点C、B不重合，点P在点C、B之间，点P、C不重合（如果点P、C重合，线段PC将不存在）：

　　假设 BD = 3PC + AP 存在

　　则 BD = CD - BC = 4 - BC

　　则 BD = AP + 3PC = AC + 4PC = AB - BC + 4PC = 2 - BC + 4PC

　　2 - BC + 4PC = 4 - BC

　　PC = 1/2

　　把 PC = 1/2 代入 BD = AP + 3PC 中去检测：

　　（BD - AP）÷ PC = 3

　　（AP+ 3PC - AP）÷ PC = 3

　　（ 3 x 1/2）÷ 1/2 = 3

　　当PC = 1/2，当点B在CD上时，且点B、C不重合，点P在点C、B之间，点P、C不重合，等式 BD = 3PC + AP 存在

　　此时PD的长度是：PD = CD - PC = 4 - 1/2 =

　　3.5

　　cm

　　《阳光学业评价》已经有了的分析但没说清楚003。点B在CD上，且点C、B不重合，点P在点A、C之间，既不与点A重合，也不与点C重合（如果点P、A重合，线段AP将不存在；如果点P、C重合，线段PC将不存在）：

　　假设 BD = 3PC + AP 存在

　　则 BD = CD - BC = 4 - BC

　　则 BD = AP + 3PC = AC + 2PC = AB - BC + 2PC = 2 - BC + 2PC

　　2 - BC + 2PC = 4 - BC

　　PC = 1

　　把PC = 1代入BD = AP + 3PC中去检测：

　　（BD - AP）÷ PC = 3

　　（AP + 3PC - AP）÷ 1 = 3

　　3 X 1 ÷ 1 = 3

　　当PC = 1，点B在CD上时，且点C、B不重合，点P在点A、C之间，既不与点A重合，也不与点C重合，等式 BD = 3PC + AP 存在

　　此时PD的长度是：PD = PC + CD = 1 + 4 =

　　5

　　cm

　　《阳光学业评价》没有给出的情况004。点A与点C重合，点P不与点A、C重合（如果点P、A、C重合，线段AP、PC将不存在），AP = PC：

　　假设 BD = 3PC + AP 存在

　　则 BD = CD - AB = 4 - 2 = 2

　　则 BD = AP + 3PC = 4PC

　　4PC = 2

　　PC = 1/2

　　在这里我们能够一眼就看出来的是在 AP = PC = 1/2 之情形，PC不可能大于1/2

　　BD ÷ 4 = PC

　　2 ÷ 4 = 1/2

　　但新东方和作业帮的老师们给这种情形所标出的PC的范畴仍然是错误的 0＜PC ≤ 2[捂脸]

　　把 AP = PC = 1/2 代入 BD = AP + 3PC中去检测：

　　（BD-AP）÷ PC = 3

　　（AP+ 3PC - AP）÷ PC = 3

　　（1/2+ 3 x 1/2 - 1/2）÷ 1/2 = 3

　　当点A与点C重合时，点P不与点A、C重合，AP = PC = 1/2，BD = 3PC + AP这个等式存在

　　此时PD的长度是：PD = CD - PC = 4 - 1/2 =

　　3.5

　　cm

　　《阳光学业评价》没有给出的情况005。线段AB在点C、D之间，点P不与点A重合（如果点P、A重合，线段AP将不存在）：

　　假设 BD = 3PC + AP 存在

　　则 BD = CD - BC = 4 - BC

　　则 BD = AP + 3PC = AB - BC + 4PC = 2 - BC + 4PC

　　2 - BC + 4PC = 4 - BC

　　PC 冒险片 = 1/2

　　线段AB在点C、D之间，点P不与点A重合，PC = 1/2，等式BD = 3PC + AP存在

　　此时PD的长度是：PD = CD - PC = 4 - 1/2 =

　　3.5

　　cm

　　最后一种情况006：点B与点D重合，线段BD不存在，所以到此计算结束。为啥有些老师好像能看明白点B、D不能重合，却看不明白点A与P、点P与C也不能重合呢？[捂脸]

　　所以，我们至少要做够五次计算论证之后，才能够确立起当 BD = 3PC + AP 存在时，PD =

　　3.5

　　c m

　　或 PD =

　　5

　　cm

　　这样的结论，即证明这个命题的成立，而不是像《阳光学业评价》那样只做上两次计算（随机抽签靠运气）就能够论证出此命题。

　　中心思想总结

　　其实这道题的难点主要在于计算方面的繁琐，只要把这两段线段在运行过程中的从相遇到停止的整个过程都细致记录下来，思路就清晰了。

　　为什么要把连老师们都不愿意去做的，如此繁琐无聊又耗时的题目压迫给学生们去做呢？

　　将一道没有准确答案的试题编入练习册有啥意义？将老师都做不对的题目放进考卷有啥意义？让做不出题的老师们如何去给学生们判分呢？他们会不会给背诵“标准答案”的学生打对，却给做对了题目的学生打错呢？

　　像以上这种没有准确答案而只有“标准答案”的“压轴题”在习题集和试卷里是很常见的，通常它们的答案都是乱七八糟稀奇古怪的......有些老师还把自己的讲解做成了视频，他们在视屏里一本正经地胡说八道，像复读机一般转述着别人写错了的“标准答案”[捂脸]让学生做这类题目的价值和意义价值何在？

　　陈省身：数学是什么？数学家究竟做些什么？一个严格的定义会引我们进入死胡同。大致说来，数学和其他科学一样，它的发展基于两个原因：（1）奇怪的现象；（2）数学结果的应用。一个例子是以下的“幻方”（图13），其中9个不同的数，横加、直加，和沿两条对角线相加，和都是15。可惜幻方只是一个奇迹，没有很多应用。另外的一个奇迹，圆周长L对直径d的比率L/d=π，是一个常数。这个结果可重要了，π这个数渗透了整个数学！（陈省身：《九十初度说数学》）

　　陈省身：《九十初度说数学》

　　责任编辑：