一道2020年高考数学真题,数列题,很多学生题都没看懂
大家好!本文和大家分享一道2020年高考数学真题。这道题是2020年新高考一卷数学的第18题,也就是第2道解答题。本题是一道数列的创新题,考查了等比数列的概念、等比数列的通项公式、数列求和等知识。很多学生连第二问的题意都没有读懂。
先看第一小问:求数列{an}的通项公式。
根据题意,数列{an}是等比数列,要求等比数列通项公式,就需要求出首项a1和公比q。
由于a2+a4=20,a3=8,所以a1q+a1q^3=20,a1q^2=8,这样就得到了一个关于a1和q的方程组。将两个方程一比,消去a1,得到关于q的方程,从而解出q的值。需要注意的是,q>1,所以小于1的值需要舍去。然后再求出首项a1,从而求出其通项公式。
另外,我们还可以利用an=amq^(n-m)这个形式来处理。
不管哪种处理方法,解题思路其实都是一样的,也就是先算出a1和q,再求通项公式。
再看第二小问:求数列{bn}的前100项和S100。
这一问的难点是读懂数列{bn}的定义,很多学生没有读懂定义,从而导致不知从何下手。
我们先来看数列{bn}的定义。bm表示数列{an}在(0,m]中的项的个数,也就是说b1就是{an}在(0,1]中的个数,而an=2^n,那么显然an在(0,1]中没有项,即b1=0。同理,b2表示{an}在(0,2]中的个数,此时a1=2刚好满足,所以b2=1;b3表示{an}在(0,3]中的个数,满足条件的an只有a1=2,所以b3=1;b4表示{an}在(0,4]中的个数求,而满足条件的an有a1=2和a2=4两个,所以b4=2。
以此类推,由于an=2^n是2的正整数指数幂,所以当m=2^k时,bm=k,而当2^(k-1)≤m<2^k时,bm=k-1。也就是说,在大于等于2^(k-1)到小于2^k这2^k-2^(k-1)项,bm的值相等,且都等于k-1。
所以当k=1时,有b1=0;
当k=2时,b2=b3=1,共2个1;
当k=3时,b4=b5=...=b7=2,共4个2;
当k=4时,b8=b9=...=b15=3,共8个3;
当k=5时,b16=b17=...=b31=4,共16个4;
当k=6时,b32=b33=...=b63=5,共32个5;
当k=7时,b64=b65=...=b100=6,共37个6。
然后,将这些数求和即得到S100的值。
第二小问如果把数列{bn}的读懂了,做起来的难度实际上并不大,你觉得呢?
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