云树学生作品｜实数系列2

　　原标题：云树学生作品|实数系列2

　　发明数学 创造数学

　　像数学家一样思考 数学精彩观念的诞生

　　数学可以越学越容易吗？ 贞元数学告诉你：当然可以！

　　本文来自云树 宜然

　　在我们六年级的时候我们已经学习了有理数，学习了它的分类、也就是诞生，还有它的比大小和四则运算。

　　有理数的分类可以按照不同的分类标准分成两种情况，一种是按正负分，分为正数，0和负数；还有一种是按照分母是否为1分为整数和分数，而有理数就是为了包含以上所有数而创造的。但是在新的学习中，我们遇到了新的问题，有无法用有理数表示的数出现了…

　　如图，一个边长为1的正方形，它的对角线是多少？

　　

　　首先我们会想到用尺子测量，但得到的结果大约在1.4和1.5之间，并没有很准确。那就要想想其他方法了，我们要找和单位正方形对角线有关的等量关系，如下图：

　　

　　将两个单位正方形以对角线为边建立一个大正方形，此时我们知道大正方形的面积是2，就可以得到一个等量关系，对角线的平方是2。

　　那现在不就简单了吗？只要看看哪个数的平方是2就好了。首先试几个整数，12=1，22=4，1＜2，2＜4，所以这个数不是整数。那如果不是整数的话，还有可能是分数，分数包含有限小数和无限循环小数，那么这个数如果化为小数的话，它的取值范围是什么呢？我们可以先取最中间的1.5，看看得到的值比2大还是比2小，就可以确定这个小数是大于1.5还是小于1.5的了。而1.52=2.25，计算过后会发现这个结果已经超过了2，所以我们可以断定这个小数是小于1.5的。再拿1.4试试，1.42=1.96，会发现刚好比2小，所以这个小数是大于1.4，小于1.5的。那么现在我们已经确定了它的范围，下面还能用类似的方法求出后面的几位小数，算到小数点后第五位小数的时候得到的结果是1.41421，而且还可以继续算下去，但是它是否循环还不确定，我们猜测这是一个无限不循环小数的可能性很大。后来也确实有数学家用反证法的方法证明出了这个数不是分数。

　　那么问题来了，有理数已经无法表示单位正方形的对角线的长度了，怎么办？

　　此时数学家就发明了一种符号来表示，那就是根号！

　　根号就是用来表示开方运算的结果，开方运算又是什么。举个例子，（y已知），开方运算就是用来求x是多少的。而利用根号，这个式子就变成了

　　

　　。像上面的问题，对角线的平方等于2，对角线就等于，也就是根号2，2是式子中的被开方数，而对角线是2的平方根，是2的平方根。但是平方根只有一个吗？我们会发现，如果，而22=4，（-2）2=4，所以2和一2都是4的平方根，所以一个数的平方根有两个，其中是正数的平方根被单独命名为“算术平方根”。

　　用符号语言表示为：

　　平方根讲完之后就到了立方根，有了之前平方的经验，我们可以测猜到立方运算同样可以进行开方运算，举个例子，23=8，那么根号还可以表示2和8之间的关系吗？如果继续用上面的根号来表示会有很多分岔，所以为了区分，我们将根号进行一个改进，来表示三次方。有一个想法是将后面的小尾巴多加一个，三次方根就是：

　　

　　但是如果要求一百次方呢？那加那么多小尾巴数都数不过来。还有一种方法，将次方根数字加在根号左上方，三次方根就是三次根号：

　　

　　这样表示就简单了很多，要表示23=8的开方运算就是：

　　

　　这样的符号就被我们一起创造出来了，比如在表示四次方时，就是。

　　现在我们来看，我们发明了根号和立方根是为了方便表示开方运算后得到的无限不循环小数，而为了统称这一类无限不循环小数，我们又给他们命名为 “无理数”，但并不是所有根号都是无理数，有一些可以化简，比如

　　

　　，，它们可以化为有理数，还有一些化简不了的，比如：，，这些才算是无理数。也就是被开方数是平方数的话，它就可以化简，但是如果被开方数不是平方数的话，它就不能化简，它也就是无理数。

　　现在我们已知的数系有两种，一种是无理数，一种是有理数，为了总称我们已经学习了的数，我们把它们又统称为“实数”，实数就包括了有理和无理数。

　　那么实数如何比大小呢？有理数的比大小就不用说了，我们小学已经学习过了，主要就是无理数。那么怎么比大小？我们可以估算，怎么估算呢？举个例子，我们要比较和的大小。首先和的整数部分都是1，但是在刚才的探索中我们知道这两个数并不是一个整数，那么我们就要求它们的小数部分，先求一位小数，我们怎么确定它们小数的范围是什么呢？我们可以先取一个比较中立的值，也就是1.5，我们看1.5的平方是大于2还是小于2。1.5×1.5＝2.25，这个数已经比2大了，所以这个小数一定是比1.5小的，再试试1.4，1.4的平方是1.96，刚好比2要小，所以我们可以确定约算成一位小数就是1.4。再看，1.5的方要小于3，所以我们可以确定要大于1.5。这个时候我们就可以比较它们的大小了，因为一个比1.5大，一个比1.5小。所以我们可以判断比要大。

　　还有一个方法是看被开方数的大小，2比3要小，所以比大。

　　那么还有其它方法吗？在之前探索有理数的比大小时还用过一个方法，那就是数轴，只要在数轴上找到和所对应的点，并根据位置比较它们的大小，就可以得到和的长度：

　　

　　而我们明显可以看出的长度要比的长，所以可以得到比大。

　　再看四则运算，无理数怎么进行四则运算呢？首先无理数没有准确的值，看似好像是不行的。但是利用一些已有经验我们可以写出一些式子，比如。那么减法也有。乘法和除法利用我们的经验还没有探索，但是我大致可以推测出来。当

　　

　　时，结果就是

　　

　　。而除以时，就可以写成

　　

　　，而且最基础的运算律也可以使用，比如加法交换律。在之前学习的绝对值相反数和倒数也可以求。的相反数是

　　

　　。的绝对值是||，倒数是

　　

　　。

　　现在我们探究完了实数的诞生和比大小，在之后我们还会探究实数的四则运算和虚数，我很期待之后的探索。

　　指导老师：梅梅老师

　　编辑：梅梅老师

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