七年级数学，平行线拐点模型之铅笔模型，结论及证明过程

　　七年级数学，平行线拐点模型之铅笔模型，结论及证明过程。已知：AB∥CD ，求证：∠B+∠D+∠BED=360°。

　　

　　方法一：过拐点作平行线

　　

　　证明：过点E作EF∥AB

　　∵ AB∥EF，∴∠ABE+∠BEF=180°

　　∵ AB∥EF，AB∥CD，∴ EF∥CD

　　∴∠DEF+∠D=180°，∴∠B+∠D+∠BED=360°

　　

　　反过来：证明：过点E作EF∥AB

　　∵ AB∥EF（已知），∴∠ABE+∠BEF=180°

　　∵∠B+∠D+∠BED=360°，∴∠DEF+∠D=180°

　　∴ EF∥CD，∴ AB∥CD

　　方法二：三角形内角和为180°

　　

　　证明：连接BD

　　∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°

　　∵ 在△BDE中，∠BDE+∠DBE+∠BED=180°

　　∴ ∠ABE+∠CDE+∠BED=∠BDE+∠DBE+∠BED+∠ABD+∠CDB=180°+180°=360°

　　

　　反过来：证明：连接BD

　　∵ 在▲BDE中，∠BDE+∠DBE+∠BED=180°

　　∵ ∠ABE+∠CDE+∠BED=360°

　　即∠BDE+∠DBE+∠BED+∠ABD+∠CDB=360°

　　∴∠ABD+∠CDB=180°

　　∴AB∥CD

　　方法三：外角等于两个不相邻的内角和

　　

　　证明：延长BE、CD相交于点F

　　∵ AB∥CD，∴∠B+∠F=180°

　　∵∠BED是△DEF的外角，∴∠BED=∠EDF+∠F

　　∴∠CDE+∠BED+∠B=∠CDE+∠EDF+∠B+∠F=360°

　　即：∠CDE+∠BED+∠B=360°

　　反过来，证明：延长BE、CD相交于点F

　　∵∠BED是▲DEF的外角，∴∠BED=∠EDF+∠F

　　∵∠CDE+∠BED+∠B=360°

　　即∠CDE+∠EDF+∠B+∠F=360°

　　∴∠B+∠F=180°，∴AB∥CD

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