压轴题研题活动第94场2022年长沙第25题

　　

　　精彩点评一

　　认真学习了胡老师讲解的2022年湖南省长沙市中考数学第25题，收获很大，现在做出如下分享：

　　1.基本数学思想在解题过程中体现地得当、合理。

　　本题的本质是二次函数定轴动区间的最值问题，参数多，情景复杂，第一问（1）求函数值与解析式，第一问（2）求一次函数的“共同体函数”解析式，是第一问（1）的推广，却又是本题的特殊情形，胡老师特别注意从特殊到一般、从具体到抽象、从简单到复杂的引导，符合数学教学的一般原则。第一问（2）中考虑到一次函数的增减性还涉及到分类讨论思想。第二问在定函数与确定定义域的前提下求“共同体函数”的最大值，胡老师运用转化的思想，将一个复合函数转化为一个二次函数与一个反比例函数，将陌生的问题转化为熟悉的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将新问题转化为旧知识，并将转化的思想进行适当的总结，起到了解一题知一类通一片的效果。第三问通过几何画板动态演示了当对称轴不变，区间变化时函数最值的变化情况，涉及到分类讨论思想、数形结合思想，用到了分段函数的知识，对代数运算能力的要求、二次函数计算的要求都很高。

　　2.对概念教学的思考深入、全面。

　　在教学反思中，给我印象最深刻的就是胡老师对概念教学的思考。可能平时对于概念教学的研究还不够，我在胡老师的讲解中受益匪浅。除了联系实际的引入，还有旧知引入、操作引入、归纳类比引入等。引入概念后马上正例强化反例辨析是我一般上课的做法，胡老师还用具体的例子论述了一些剖析概念的方法，如对比解读法。概念的理解、记忆、与应用也是学生经常学不好的地方，胡老师通过对本题的分析，提出了一些办法，如：采取辅助方式、多感官刺激、形象化记忆等等，通过达到此充分挖掘学生综合能力的作用。

　　3.解题后的总结反思维度多、站位高。

　　本题是定轴动区间的二次函数问题，正所谓举一反三，由此及彼，关于动轴定区间、动轴动区间的考虑是解题后应该反思的内容，本题中出现了分段函数，胡老师在解题后反思中通过举例总结了分段函数的处理办法。大量丰富、有趣、高相关性的例题与变式题，让人眼前一亮，也给我指明了解题后反思的一条路。解题后常反思，想问题深了，看问题眼界更广了，指导学生更得心应手了，好处是非常多的。本题对学生数形结合思想的要求非常高，需要分类讨论时结合二次函数的图象得到不同范围内的函数最值，胡老师通过变式、画图，已经引导的非常好了。如何设置层层深入的问题，由表及里、由浅入深地帮助学生进一步提高数形结合能力、理解二次函数图象的能力？这是我接下来一段时间要好好思考的。

　　最后，感谢胡老师精彩的研题，感谢张钦博士搭建的学习平台，希望我们能在这么好的研究氛围中，百尺竿头更进一步，相信研题活动一定会助于我们从容应对新中考。

　　精彩点评二

　　仔细学习了胡芳老师的研题，又对照课件细细回味学习，胡老师清晰的讲解思路，详实的分类讨论，让我感受了研究数学题的严谨性，收获多多，感慨多多。我特别欣赏胡老师研题的有这几点：

　　一、有序思考寻路径

　　正如胡老师所言，这是一道函数新定义题，然而又都是基础知识的综合运用，内涵本质是考查函数的最值问题。一般而言，理解新定义问题的关键是学生读懂题意，用已有的知识、能力导航数学思考，解决问题。学生的“望而却步”也只是理解上“慢一拍”， 无法将题中的已知条件进行整合并计算，这样的思维障碍，在平时学生的解题过程中也比较常见，这就需要教师在解题教学时给予学生充分暴露思维的机会,在思维路径的障碍点处加以点拨。胡老师注重引导有效审题、有序思考,由“已知”想“可知”，由“未知”想“需知”，由“一级思考”到“二级思考”， 由正比例、一次函数、反比例函数、到带参二次函数，循序渐进，充分挖掘了学生的综合能力，通过知识点的桥梁，构建学生的思维通道。

　　二、数形结合悟分类

　　本题的特色在于分类讨论，没有一题多解的繁杂，只有不重不漏的精准分类。胡老师在解决问题的过程中，利用图形的直观性找到分类的依据，就像数学家华罗庚所说：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离”。 定轴动区间问题本来是难点，但胡老师根据题设和要得到的结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和函数图形紧密结合，并充分地利用这种结合，分解题目难点，探求最值问题。学生可在本题的探究中，充分感受到数形结合的妙用，分类讨论的严谨，体会数学的奇妙。

　　三、思想渗透提素养

　　教师的教学要始终立足学生核心素养的发展，体现数学学科的育人价值。胡老师在教学反思中特意提到转化、分类讨论、数形结合等数学思想方法在平时教学中的运用与渗透，也联系课标、课本谈到了概念剖析教学，这些教学方法都是有理于学生数学思想的形成，对于提高学生的核心素养具有重要意义。相信在胡老师的引导下，学生会从不同层面去严谨地分析问题，对开放性题目的解决有较深刻的认识，实现“研一个，得一法，会一类、通一片”，获得经验的积累、数学的理解和素养的提升。

　　精彩点评三

　　2022年湖南长沙数学中考第25题是一道与二次函数结合的新定义题目，这也是长沙市连续第三年在压轴题（倒数第二题）中进行此种题型的尝试。通过“新定义”的载体考查了函数基本概念、区间增减性等基本性质，这种题型是让学生经历学习定义--研究性质--基本运用--综合运用的过程，整个过程与概念课的整体架构几乎类似，所以是对学生学习能力的一种重要考察方式。聆听了胡老师关于此题的讲解，让我对胡老师简洁明了的语言印象深刻，同时胡老师在解题中呈现的层次感和面对难点逐一突破的做法，也让我对习题教学有了更深的理解。下面结合此节课，我谈一下我的感悟：

　　一、习题教学是教师与学生思维同频共振的集中体现。

　　美国著名心理学家奥苏贝尔认为，有意义学习的发生和保持的最有效策略，就是利用适当的引导性材料对当前所学新内容进行定向与引导，唯有如此才能确保新、旧知识间建立实质性的、非人为的联系。为什么数学课上老师讲题有的孩子听得懂，有的孩子还在云里雾里，就是各个孩子的认知结构并不相同，大班化的数学教学要以大部分学生的认知情况为起点，设计对应的活动场景，从而让学生从旧知识迁移到新知识，从而加强对新知识的理解。胡老师在第二问中求h的最大值时，意识到此时求h的最值学生会存在一定问题，所以用了换元法，转换成学生很熟悉的反比例函数的一部分去解决最值的问题。第三问分类别讨论中，胡老师的做法是逐个突破，先看最大值的三种情况、再看最小值的四种情况，然后再进行合并分类。胡老师认识到学生在解题的道路上会遇到分类的困难，所以充分考虑了学生的可接受度，把握住学生学习的最近发展区，设计了单独突破最大值和最小值的环节，力求使开展的教学活动贴近学生实际认知。

　　二、习题教学是培养学生数学核心素养的组成要素。

　　数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这些核心素养既有独立性，有相互交融。在胡老师的讲解中，抽象出新函数；构建新函数转化为反比例函数；第三问的分类讨论思想的体现；利用函数图像对区间内函数增减性的处理等这些都是数学核心素养的组成部分。所以数学习题教学，不仅是局限于题目的解答，更重要的是学生通过解题，形成基本的数学思维，从而促进学生核心素养的发展，满足学生终身发展的需求。

　　三、习题教学是反思教师自我教学情况的评价指标。

　　解题教学只是数学教学的一部分，更重要的是引导学生形成自然的解题思路，同时能够剖析问题本质。解题中你是怎么想的？做不下去的障碍是什么？而造成这种障碍的原因是什么？造成这些障碍的原因是正是源于我们的教学和课堂活动的开展中出现的一些问题。胡老师在反思中谈到了概念课的教学，也就是对标“新定义”题型中出现的思维障碍，随即引发的对此类课型的教学反思。

　　最后再次感谢胡芳老师给我们呈现的精彩讲解与反思，也感谢张钦博士为我们搭建的研题平台，让我们共同研究，反思教学，从而促进教学能力的提升。

　　精彩点评四

　　认认真真学习了两遍胡老师对长沙第25题的讲解，收获多多。

　　本题考查了函数新定义，要掌握一次函数，反比例数，二次函数的性质，难点在于分类讨论时t的取值范围的取舍。尤其是本题的第（3）问，难点在于如何界定函数的最大值与最小值，要进行二次分类讨论，对学生的逻辑推理能力、作图能力以及计算能力的要求都很高，难度很大。综合来看，此题以新定义的形式将初中阶段几个函数要考查的性质综合到了一起，串联了初中阶段所学函数的基本性质，体现了出题者的智慧。学习完胡老师的研题，我对此题又有了更深入的认识。下面主要谈三点学习感受：

　　一、拨云见雾，参透概念的内涵是解题的关键

　　新定义问题是目前中考中常出现的一类问题，是将学生还没有学过的一些知识用新定义的形式呈现出来，让学生在给定的条件下求解，其实这类问题的处理方法就是充分解读新定义的内涵，参透概念的本质是什么，读懂了所求问题的本质，问题也就迎刃而解了。学生在解题中出现的第一个思维障碍就是不理解题目的意思，胡老师针对学生的读题障碍对新定义进行了充分解读，挖掘了概念的内涵，找出了此题的考查知识点，教师的精准分析能帮助学生厘清思维，帮助学生有序思考。如果学生在解题的过程中能够参透概念的内涵就是求一次函数、反比例函数、二次函数的最值时，相信能领悟这一点的同学大概率能做出此题，这也告诉我们在日常教学中要加强概念的教学，充分挖掘概念的内涵和外延，理解知识的来龙去脉，胡老师在第一点研题反思中讲解的内容对我的启发很大。

　　二、数形结合，将抽象的函数具象化是解题的突破点

　　本题是一道函数综合问题，函数本身就很抽象，学生不好理解，如何将抽象的函数具象化，数形结合是最佳的解题搭档。此题的第二问和第三问都需要用到数形结合思想，大胆画图，通过作图寻找解题突破点。胡老师再次精准把握了学生思维的第二个障碍，借助数形结合，通过分类画图，明确最大值与最小值的界定方法，尤其在第（3）问中的分类讨论时，通过画图，学生就能很快理解为什么在定轴动区间中的最值是变化的，隐含的二级讨论也就浮现了，将抽象的函数具象化，数形结合的功劳不可磨灭。胡老师对分类讨论中两种方法的归纳我让印象格外深刻，一级讨论最大值，二级讨论最小；一级讨论最小值，二级就讨论最大值，方法的归纳起到了画龙点睛的作用，妙。

　　三、准确计算，提高自信是解题的加分项

　　本题要完整解答出来，离不开准确的计算，都说计算是数学的童子功，的确如此，如果学生在解答此题中能够准确的计算出结果，便可以激励他们继续往下探索。胡老师在讲解中引导学生换元就是在渗透运算方法与技巧。在日常教学中，我们不仅要教学生基本的算理，也需要渗透一定的技巧，起到事半功倍的效果。

　　一堂好的习题课需要老师关注的方面太多太多了，我需要学习的方面也太多太多，每次认真学习老师们的研题讲解，就是在给自己充电、加油。感谢胡老师的精彩讲解，感谢张钦博士及团队提供这么好的学习平台，我将继续跟着各位优秀的老师们学习，提高自己的数学素养，争取更大的进步！

　　精彩点评五

　　今天学习了胡老师讲解的2022年湖南省长沙市中考数学第25题，让我受益匪浅，本题的是一道函数新定义题，是二次函数定轴动区间的最值问题，含有多个参数，综合性较强。

　　本题又浅到深层层递进，第一问学生容易入手，以正比例函数和确定的定义域入手，从而认识新定义。同时以一次函数为背景，考察函数的增减情况，灵活运用。本小题，从特殊到一半的情况，由具体到抽象。在第二问中，以反比例函数为背景解决问题，在本问中运用了数学转化的思想，将新问题转化为我们以有知识来解决。第三问以二次函数为背景，包括定轴动区间综合性较强。解决问题的过程中用到了分类讨论和数形结合的思想，利用数形结合等方法解决问题。

　　胡老师教学反思深入、全面思考，在胡老师的讲解中让我受益匪浅，旧知引入，将复杂的问题化为简单问题，并将转化的思想进行适当的总结，起到了解一题知一类通一片的效果。概念的理解、记忆、与应用也是学生经常学不好的地方，胡老师通过对本题的分析，提出了一些办法。

　　本题主要是分类讨论，需要学生思路清晰，分类过程不重不漏。胡老师利用图形的直观解决此问题的过程中，逐步找分类的依据， 定轴动区间问题对学生来说比较困难，不容易得分，但胡老师讲解中找到内在联系，如何解决层层深入的问题，没有无缘无故的第一问，由浅入深地帮助学生进一步提高数形结合能力、理解二次函数图象的能力。这是作为教师要深入思考的问题。

　　胡老师在分析和解决问题是做到了眼中有数、心中有形。在讲解的过程中优化解题思路和解题策略。在讲解过程中给逐步分析，由浅入深强化对概念的理解。代几结合、数形结合，利用空间观念理解几何问题。在胡老师讲解过程中，全面分析，全面开发脑功能，培养学生的创新意识。在几何图形中形状、大小、位置密切相关的数量关系。胡老师通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，并以形助学，具有严谨与形的直观，是优化解题过程的，是重要的数学思想方法。

　　胡老师教师的教学立足学生核心素养的发展，以学生为主体，注重方法教学。胡老师善于启发学生的思路，与平时教学紧密联系，并对课标、课本深入剖析，有理于学生数学思想的形成，对提高学生的核心素养具有重要意义。

　　最后感谢张钦博士提供的研学平台，让青年教师向有经验教师不断学习，逐渐提高自己的教学水平，提高自己的教学素养！

　　个人感言

　　2022年长沙中考数学第25题是一道函数新定义题，然而又都是基础知识的综合运用，灵活迁移，在读懂新定义的前提下举一反三，层层推进。我们不难得出函数新定义“共同体函数”的内涵本质是考查函数的最值问题，进一步会发现是求解自变量为变化的动区间时，相应的函数的最大值和最小值。随之我们又会发现随着自变量所在区间的变化，函数的最大值和最小值也可能会发生变化，所以自然想到分类讨论。 第一小题的两小问中，①以正比例函数（具体的函数）和确定的定义域为背景，目的在于认识新定义；②以一次函数为背景，考查一次函数在R上增减性。本小题由特殊到一般，由具体到抽象；由特殊到一般再由一般到特殊是人们认识世界的基本过程，对数学而言，就是我们常说的特殊与一般的数学思想。（2）以反比例函数为背景，但新的问题出现，h关于t的函数的增减性分析比较困难，于是采用换元法转化为熟悉的函数，结合图像分析得到最大值 。这里我们运用了转化的数学思想，将新的问题转化为用我们所学过的知识来解决，这样使得问题迎刃而解。（3）以二次函数为背景，是一个定轴动区间问题。在解决问题的过程中我们用到了分类讨论和数形结合的思想。分类讨论的难点在于要找到分类讨论的依据，此题解决最值我们可以从两个方向突破：一是从取到最大值M的情形来分类，共三种情况，分别是当x=t+1/2，x=2,x=t?1/2，而当x=2取最大值M时，最小值N不确定，于是很自然的展开二级讨论；二是从取到最小值N的情形来分类，共两种情况，分别是当x=t?1/2和x=t+1/2时,而这两种情形的最大值M都不确定，于是有必要展开二级讨论。而在解决问题的过程中，图形带给我们的直观性利于找到分类的依据。本题难点在于：同时求解二次函数在闭区间上的最大值与最小值，其中隐含二级讨论。此题方法突破有两个方向：一是一级讨论最大值，二级讨论最小值；二是一级讨论最小值，二级讨论最大值。

　　通过此次研题题，我发现自己在教学过程中需注意以下几点：一是对教学中概念教学的思考。《课程标准》指出：“在教学中，应当从实际事例和学生已有的知识出发引入新的概念。”也可以通过在课堂中现场操作与演示的方式引入新的概念。“新定义”问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点，不少学生看到此类问题望而却步，要求我们在平时的概念教学中注重剖析概念，注重对概念的深层次理解。二是转化思想在教学中的渗透。恰当的使用转化能将问题化繁为简、化新知为旧知、计算量化大为小。对于一些复杂的问题，往往需要经过几步转化，直至转化为一个便于解决的问题。三是如何找到分类讨论的依据。分类讨论有关的试题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练思维的条理性、概括性、严谨性。分类讨论实际上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法。其作用是克服思维的片面性，防止漏解。分类讨论的关键在于明确是否需要分类 ，准确找到分类讨论的依据（临界点）。有时分类并不能一次完成，还需进行逐级分类。四是对分段函数的再“认识”。变量x在不同的范围，有着不同的对应关系，即有着不同的解析式，这时需要分类将函数写成分段的形式，我们称这样的函数叫做分段函数。分段函数是一个函数，不是多个函数。在分段函数的教学中，我们应该注意分段函数的整体性、对应性、分界点的特殊性和直观性。五是在平时教学中引导学生注重数形结合，做到眼中有数-心中有形。现代脑科学研究揭示，大脑左右半球各有分工。左半球具有语言、逻辑、分析等抽象思维的优势，右半球具有形象、灵活、综合、富有情感等形象思维优势。用“数形结合”的方法进行学习，可以使左右脑协同作用发挥。发挥全脑的功能，因此能收到更好的学习效果。六是教学中需注意语言的精炼，加强几何画板的运用。

　　感谢张钦博士搭建的研题平台，让我有机会能和众多爱好研题的老师们探讨交流，不仅开阔了我的解题思路，更让我以中考题为载体，对整个初中数学压轴题有了更系统，更深入的研究，能更好的服务于常规教学。感谢张钦博士和黄毅老师的指导，为我提供新的思维新的视角；感谢十六中数学组同仁们提出的宝贵建议与大力支持；感谢孙园园老师、周芊芊老师、王娅老师、孙连湘老师、徐佳老师的精彩点评；感谢各位老师的聆听；让我对本题和教学又有了新的思考。在教学的过程中我还有很多不足，但我将继续向大家学习，努力成长。

　　胡芳老师简介

　　胡芳，高级教师，宜昌市顾远航名师工作室成员，中学数学竞赛优秀教练员，优秀阅卷员，多次获上级部门的优秀教师和教学能手等荣誉表彰，主持课题并参与课题研究，多篇论文在刊物杂志发表。作为老师，我始终坚持将爱心献给学生，诚心送给家长，信心留给自己。