2022年国际数学奥林匹克竞赛的一道数论题，只有5％的人做了出来

　　

　　问题

　　设k是一个正整数，设S是奇数素数的有限集合。证明最多有一种方法（旋转和翻折后重合的算一种）将S的元素放置在圆上，使得任意两个相邻元素的乘积对于某个正整数x的形式为x^2+x+k。

　　这是2022年国际数学奥林匹克竞赛（IMO）第一天的最后一道题，也是第一天3道题中最难的一道。

　　69%的参与者在这个问题上得到0分（满分7分）。只有不到5%的参与者获得了全部7分。考虑到每个IMO参与者都是来自各个国家的前6的高中数学家之一，这道题的难度可想而知。

　　

　　问题陈述很简短，相对容易理解。在深入研究之前，我们先从一个简单的问题入手。

　　圆中的3质数研究

　　考虑S包含3个质数。现在，不考虑旋转和反射，将任意3个数字排列到一个圆中只有一种方法。尽管如此，3个质数的情况仍然包含了许多对这个问题至关重要的见解。

　　下图显示了3个奇数素数集合S：{3，5，7}，{3，5，11}和{3，5，13}。

　　

　　奇素数（蓝色）及其乘积（橙色）

　　上面的3个例子包含最小的奇素数3和5。这很容易研究，因为乘积15的形式是x^2+ x + k对于某个正整数x，只有几种情况：

　　x = 1，k = 13

　　x = 2，k = 9

　　x = 3，k = 3

　　x的任何较大值都使得x^2+x＞15，那么k为负（但k是正整数）。

　　从集合S ={3,5,7}开始，我们想找出当k = 13, k = 9或k = 3时，剩下的乘积21和35是否可以表示为x^2+x+k。

　　绘制一个小表格来检验所有的可能性，我们发现没有一个k值适用于集合S ={3，5，7}。

　　顺便说一句，如果允许x = 0，那么k = 15就可以。

　　

　　但是对于集合S ={3，5，11}，我们发现k = 13就可以了。所有3个乘积15、33和55都可以表示为x^2+x+13。

　　

　　对于集合S ={3，5，13}，所有3个乘积15，39和65都可以表示为x^2+ x + 9。

　　

　　这似乎很令人惊讶，因为右边两列的唯一共同数字也是第一列的3个数字之一。

　　我想尝试一组3个略大的质数：S ={5，13，23}，它们的两两乘积分别是65、115和299。

　　

　　同样，有一个唯一的k值使得所有3个乘积都可以表示为x^2+x+k。可以发现，

　　最大的质数（23）总是比最大的两个x（15和7）的和大1，并且

　　两个最大的x值之差等于两个较小的质数之差。

　　例如，在上面的表中，对于S ={5，13，23}，最大的两个x值是7和15。我们可以看到7+15+1 = 23，157 = 135。

　　这些观察结果使我们能够证明k对3素数集合的唯一性，并用数学归纳法来证明任何集合S的唯一性。

　　数学归纳法的证明

　　这个想法是为了证明对于有（n+1）个素数的集合S的任何合适的排列，去除最大的素数p给出了一个适合（且唯一的）n个素数集合的排列。另外，只有一对质数q, r可以放在p的旁边。加上3个质数的基本情况，这足以保证S的排列必须是唯一的。

　　

　　我们将证明如果pq和pr都可以表示为x^+x+k，那么可以得出qr也一定可以表示为x^2+x+k（对于相同的k）。

　　设p为3质数中最大的，不是一般性的，p > q > r。

　　我们可以令pq=a^2+a+k，pr = b^2+b+k。

　　然后是减法：

　　

　　所以(a-b)或(a+b+1)必须能被质数p整除，但因为a和b都小于p，所以它不可能是(a-b)。

　　另外，因为a+b+1<2p，不仅（a+b+1）能被p整除，而且它必须相等，所以p= a+b+1。

　　现在要证明qr也必须有x^2+x+k的形式。

　　因为p(q-r) = (a-b) (a+b+1)和p=a+b+1，所以

　　

　　重新排列得到

　　

　　设这个公约差为d：

　　

　　那么

　　

　　注意，a和b对于给定的q和r是固定的，这意味着它们是唯一的，因此k是唯一的。

　　又：p=a+b+1，

　　因此：p=q+r+2d+1。

　　将这些表达式代入方程pq = a^2+ a+ k，得到

　　

　　就这么简单。

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