一道初中数学竞赛题，很多人看完题后感觉简单，但做对者寥寥无几

　　例题：（初中数学竞赛题）如图，已知NS是⊙O的直径，弦AB丄NS于M，P为弧ANB上异于N的任一点，PS交AB于R，PM的延长线交⊙O于Q．求证：RS＞MQ．

　　今天，数学世界给大家分析一道初中数学竞赛题，很多人看了此题后，都感觉非常简单，但是真正开始做了之后才知道，想证明出结论并不容易。这题确实有一定难度，如果不知道四点共圆的判定与性质，肯定是很难做出来的。解本题的关键是借助“四点共圆”，根据已知条件和图形特点，即可解决问题。下面，我们就一起来分析这道例题吧！

　　分析：此题要证明的结论其实可以很直观地推出来，如果是选择题就很容易了，但是这是解答题，必须要有严谨的推理过程。由于图中有圆，所以辅助线是必不可少的。连接NR并延长交⊙O于Q′，连接NP，NQ，MQ′，SQ′。

　　根据∠NPS+∠NMB=180°，可证得N，M，R，P四点共圆，根据圆周角定理和等量代换，可证得∠SNQ′=∠SNQ，得出Q与Q′关于NS对称，则MQ′=MQ。再证明M，S，Q′，R这四点共圆，由于RS为直径，MQ′为非直径的弦，则必有RS＞MQ′，于是结论得证。

　　证明：连接NR并延长交⊙O于Q′，连接NP，NQ，MQ′，SQ′，

　　∵NS是⊙O的直径，弦AB丄NS于M，

　　∴∠NPS=∠NMB=90°，

　　∴∠NPS+∠NMB=180°，

　　∴N，M，R，P四点共圆，

　　根据圆周角定理和等量代换，

　　得∠SNQ′=∠MNR=∠MPR，∠MPR=∠SPQ=∠SNQ，

　　即∠SNQ′=∠SNQ，

　　根据圆的轴对称性可知Q与Q′关于NS对称，

　　∴MQ′=MQ．

　　同样根据圆周角定理和对称，

　　得∠NQ′R=∠MQN=∠MSR，

　　∴M，S，Q′，R四点共圆，

　　∵RS为直径，MQ′为非直径的弦，

　　∴RS＞MQ′，

　　∴RS＞MQ.

　　温馨提示，由于文章是作者一字一句打出来的，所以文中可能会出现一些不影响阅读的错误，还请大家谅解！郑重声明：这里全部文章均由猫哥原创，“数学世界”专注小学和初中数学知识分享。若朋友们还有不明白的地方或者有更好的解题方法，欢迎留言参与讨论。

　　举报/反馈