被称为“数学的皇后” 古老的数论魅力何在

　　本文转自：文汇报

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　　■萨日娜

　　数学，作为人类思维的表达形式，需要缜密周详的推理以及对完美境界的追求。数学研究既需要逻辑性、分析性和一般性，也需要直观性、构作性和个别性。虽然不同的数学分支强调不同的侧面，但这些互相对立的思维碰撞构成了数学科学的生命力、实用性及其崇高价值。

　　数论（Number Theory）是数学的一个分支，主要研究数的规律和整数性质。德国数学家高斯曾写道：“数学是科学的皇后，而数论是数学的皇后”，数论研究中的各种猜想是数学皇冠上一颗颗璀璨的明珠。

　　11月8日，笔者在线聆听了张益唐在线讲解学术论文“离散均值估计和朗道-西格尔零点”，又重新感受到了曾在博士期间经受的数学研究带来的快乐和烦恼。数论猜想可谓魅力无穷，几代中国数学家也屡次收获成果，其背后是吃苦耐劳、坚韧不拔和不图名利、追求真理的科学家精神。

　　“韩信点兵”，原来是一个关于数论的故事

　　数论是数学研究最古老的方向。信奉“数即万物”的古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪就研究了整数的可除性问题，提出奇数、偶数、素数、复合数、完全数和亲和数等概念。

　　演绎体系的集大成者欧几里得公元前4世纪发现自然数的基本规律，指出素数有无穷多个，每个复合数都可以唯一地表示成素数的乘积，又求出两个正整数最大公约数的算法，建立了整除性的初步理论。

　　大约在公元前250年，埃拉托斯特尼发明了一种筛法，求出了不超过某个自然数N的全部素数，这是陈景润和张益唐在研究“孪生素数猜想”时使用的主要方法。

　　公元4世纪，希腊化时期的数学家丢番图用初等数论研究了一系列不定方程的求解问题，提出著名的丢番图猜想。其著作《算术》的拉丁文译本初刊于1621年，此后再版多次，成为17世纪以后欧洲学者研究并提出更多数论猜想的思想源泉。

　　中国人很早就有初等数论的研究和探讨，在传说中和历史文献中均有相关记载。“韩信点兵”便是知名的数论故事。秦朝末年，楚汉相争，韩信率兵打仗。某次，他急需点兵迎战，就命士兵布阵三次（命3人一排，多出2名；命5人一排，多出3名；命7人一排，多出2名）后，直言有1073名勇士可击垮敌兵，其神机妙算鼓舞士气，旌旗摇动，大败楚军。

　　公元前1世纪的《周髀算经》中出现商高定理（勾股定理）；西汉初成书的《九章算术》标志我国传统数学体系的完备化，其中的“五家共井”问题，给出了不定方程组的整数解；公元4世纪的《孙子算经》中有“物不知数”问题，求解一次同余式组，标志着我国古代初等数论的程序化；公元5世纪的《张丘建算经》有“百鸡问题”给出几组不同的整数解；南宋数学家秦九韶的《数书九章》用“大衍求一术”解决了一次同余式组的求解问题，传之欧洲后被称作“中国剩余定理”。秦九韶被德国数学家、集合论的创始人康托尔称为“最幸运的天才”。“科学史之父”萨顿称秦九韶“是他那个民族、他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一。”

　　每个著名猜想背后，都闪烁着数学家的智慧

　　17世纪以后，西方学界开始深入研究初等数论问题。

　　1640年，费马在研读丢番图《算术》之后，提出一个数论命题：如果p是素数，那么对于任何整数a，ap-a都是p的倍数，但他却没有给出证明。这个困扰数学界近100年的“费马小定理”，1736年由欧拉给出证明，又将它推广到复合数的情形。

　　1772年，拉格朗日证明了费马提出的另一个定理：每一个正整数都可以用四个整数的平方和表示。1798年，勒让德总结前人的数论成果，编著了第一部数论教科书。

　　1900年，希尔伯特在巴黎世界数学家大会上做了题为“数学问题”的经典报告，提出了23个意义深远的数学难题，史称“希尔伯特问题”。期间，他特别指出费马大定理对于数论乃至整个数学领域的重要意义。依据希尔伯特的观点，数学家库默尔将高斯的复整数理论推广到代数数，引入了理想数与分圆数，开创理想数论，开启了从代数数论出发证明的新路径。费马大定理历时350年后，1995年由英国数学家怀尔斯给出了完美的证明。

　　国内数学界或普通读者都比较熟悉的哥德巴赫猜想，正是“希尔伯特问题”中一个著名的猜想。其内容是“任何不小于6的偶数都是两个奇素数之和，任何不小于9的奇数都是三个奇素数之和”。这一问题于1742年由德国数学家哥德巴赫提出后，长期被悬置，20世纪初由哈代和李特尔伍德给出部分证明，又经我国陈景润等数学家的推进，最终由苏联数学家维诺格拉朵夫等人解决。

　　在张益唐第一篇论文中解决的“孪生素数猜想”，被称作是“哥德巴赫猜想”的姐妹问题，也是23个“希尔伯特问题”之一，1849年由波林那克提出。

　　2013年5月，张益唐证明孪生素数猜想的一个弱化形式，取得突破性进展。在不依赖未经证明推论的前提下，他发现存在无穷多个之差小于7000万的素数对。其论文5月14号在网络上公开，5月21日正式发表。7天后，这个常数下降到了6000万，10天后的5月31日，下降到了4200万，又过了3天（6月2日）变成1300万，次日成为500万。6月5日，40万。9个月后，张益唐的7000万被缩小到246。在英国数学家蒂姆·高尔等人发起的“博学之人（Polymath）”计划中，孪生素数猜想成为21世纪数学工作者们利用网络进行合作研究的一个典型案例。人们不断改进张益唐的证明，推进着最终解决孪生素数猜想的距离。

　　百折不挠勇于进取，历代学人的优秀品质书写学界佳话

　　杨武之是我国第一位数学博士，也是中国现代数论研究的先驱和开拓者。正是杨武之将现代数论引进中国，并培养了大批人才。柯召和华罗庚就是杨武之在清华培养的学生。新中国成立后，华罗庚在中国科学院数学研究所组建讨论班，带领王元、陈景润等人专门攻克哥德巴赫猜想。

　　北京大学数学系成立之初便有数论课程，也培养了一批重要学者，潘承洞、潘承彪为其中的佼佼者。上世纪50年代，潘承洞在研究中获得关于算术数列中最小素数的上界定量估计，其结果被国内外文献广泛引用。60年代后，他主要从事哥德巴赫猜想的研究，为后来的证明打下了基础。70年代在简化陈（景润）氏定理（1，2）时提出并证明了一条新的均值定理，是对邦别里定理的重要推广与发展。1982年，他与陈景润、王元同获国家自然科学奖一等奖。

　　张益唐于1978年考入北大数学系，1982年继续攻读研究生，攻克数论问题，指导老师就是潘承彪。他以优异成绩毕业后赴美留学，本想师从著名数论学者亨里克·伊万涅茨，却阴差阳错做了别的数学研究。英雄相见恨晚，却惺惺相惜，在属于张益唐的2013年春天，伊万涅茨应《数学年刊》主编之邀，审读张益唐的论文，仅用三周时间看出其价值，推荐刊载于这个已有130多年历史的数学界顶级期刊上。

　　张益唐2014年受邀在国际数学家大会上做特邀报告，又获罗夫·肖克数学奖、弗兰克·奈尔森·科尔数论奖、麦克阿瑟天才奖等诸多奖项。近年，张益唐成为北大闵嗣鹤数论研究中心名誉主任、客座讲席教授，还给数学系的学生们讲授暑期课程。张益唐能够在数论方面取得举世瞩目的成就，与他在北大数学系打下的数论基础密不可分。在今年11月8日的报告中，他也多次谈到北大数学系潘教授对他的指导和影响。

　　“板凳要坐十年冷，文章不写一句空”，获得优异学术成果的前辈学者们大都具备了不怕困难、百折不挠、勇于进取的优秀品质，张益唐也不例外。这种品质要经过艰苦锤炼才能形成，任何时候都不会过时。传统数论研究是中华优秀传统文化之中的瑰宝，其中蕴含着前辈先贤的智慧。21世纪成为数学大国，也是时代给予中国年轻一代的光荣使命。

　　（作者为东京大学理学博士，上海交通大学教授）

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