2021年高考数学真题，三角求值，经典题目必须掌握

　　大家好！本文和大家分享一道2021年新高考数学1卷的真题，2021年采用新高考1卷的省份有河北、湖南、湖北、山东、广东、江苏、福建。这道题是试卷的第6题，考查的是三角求值问题，难度虽然不大，但题目非常经典，高中生必须要掌握。下面分享两种常见的解法。

　　由同角三角函数的商数关系及tanθ=-2可得，sinθ/cosθ=-2，及sinθ=-2cosθ。又根据同角三角函数的平方关系即(sinθ)^2+(cosθ)^2=2可得，cosθ=±√5/5。由tanθ=-2知，θ为第二、四象限角，当θ为第二象限角时，cosθ=-√5/5，sinθ=2√5/5，当θ为第四象限角时，cosθ=√5/5，sinθ=-2√5/5。

　　所以由二倍角的正弦公式，可得sinθ(1+sin2θ)/(sinθ+cosθ)=sinθ(1+2sinθcosθ)/(sinθ+cosθ)。接下来分类讨论，分别将sinθ、cosθ的值代入即可得到最终的答案。

　　解法一是很多同学都使用的解法，虽然这个解法是没得问题的，但是过程比较复杂，而且还需要分类讨论。当然，由于本题是一道选择题，所以有的同学并没有分类讨论，只是算出其中一种情况就行了。作为一道单项选择题，由于只有一个正确答案，这样做虽然有投机取巧的意思，但是还是能得到正确答案。但是如果这是一道不定项选择题或者是填空题解答题呢？只算一种情况肯定就不行了，就必须分类讨论了。下面再介绍一种不需要分类讨论的解法。

　　看到tanθ=-2，要求一个三角函数式的值，相信一些同学都已经想到了用“齐次化”来求解了。

　　齐次化求值，通常需要将分子分母各项的次数化成相同的形式。先看一下本题要求的这个式子，很明显分子分母的次数并不相同，但是根据同角三角函数的平方关系(sinθ)^2+(cosθ)^2=1及二倍角的正弦公式sin2θ=2sinθcosθ，就可以将1+sin2θ变成(sinθ+cosθ)^2的形式，而此时刚好和分母能够约分。约分后得到(sinθ)^2+sinθcosθ，此时将分母看成“1”并用(sinθ)^2+(cosθ)^2代换，则分子分母的每一项都变成了二次，然后分子分母同时除以(cosθ)^2，原式就变成了[(tanθ)^2+tanθ]/(tanθ)^2+1]，代入tanθ的值，就可以求出最终的答案。

　　齐次化求值是三角函数的重要考点，通过这道题也可以看出用这个方法解题的优势，所以高中生必须要掌握。

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