这个幂指不等式如何证明？

栏目：未来教育时间：2023-07-16

　　已知 $b>a>0$ ,求证： $2^{2a}a^{a}b^{b}<(a+b)^{a+b}<2^{a+b}a^ab^b$ .

　　随手写一个回答（不注意格式，大家将就着看吧），解决一下 @O-17 的思考题：

　　这个幂指不等式如何证明？ - O-17的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/610759743/answer/3107132010

　　由于F关于alpha单调增，所以我们只需要找到alpha的临界值，使F恒负、恒正。

　　t=0处泰勒展开：(1 - Log[2] + a Log[2]) t^2+……，故猜测关键值为alpha=-1/Log[2] + 1

　　画图：F(-1/Log[2] + 1,t)/t^4，发现恒负（懒得证了）

　　画图F(alpha,t)/t^2，改变alpha的值，观察正负性

　　https://www.zhihu.com/video/1660594001941135360发现t=1处也是关键。在t=1处展开：

　　更正：最后一行第一项是2\sqrt{2s}

　　由此发现alpha=0时恒正。（结合图，应该是对的，懒得证了）