高中数学“空间垂直”有关问题的求解一般方法与技巧

　　(即高中数学必修2 - 第13讲 基础应用之“（空间）线线垂直”)

　　1. 基本问题说明

　　提示：一般地，空间各种垂直关系问题的立足点都是“线线垂直”基本问题。

　　线线垂直是立体几何模块中最常遇到的几个基本问题之一。除了求解线线垂直本身的题目，它还广泛存在于线面垂直、面面垂直关系的证明中；可以这么说，空间垂直关系的证明都可分解为若干个线线垂直的基本问题的求证来实现。

　　2. 解决基本问题的一般方法

　　初中学的平面几何知识，包括线线垂直有关的公理、定量、性质等，是求解与几何体有关的线线垂直问题之必备基础。而且，在几何体中研究线线平行，看上去更复杂、更抽象，证明方法也更丰富。其要点包括：

　　a) 平面几何线线垂直的常用性质（基础）

　　① 等腰三角形底边上的中线与高、顶角的角平分线均垂直于底边

　　② 三角形某一边的中线若等于该边一半，则该边所对的角是直角(利用外接圆秒懂！)

　　③ 在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角

　　④ 邻补角的平分线互相垂直

　　⑤ 一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条

　　⑥ 两条直线相交成直角则两直线垂直

　　⑦ 两不同点到某一线段两端的距离分别相等，则该两点在该线段的垂直平分线上

　　⑧ 利用勾股定理的逆定理

　　⑨ 利用半圆上的圆周角是直角

　　b) 常用证明方法

　　如两直线是异面的，则需要找到（另一个）可能存在的线面垂直或面面垂直关系，从而间接证明所求的异面直线间的关系；如两直线在一个平面内，则首先可平面内寻找可通过已知边、角度关系来证明两线垂直的解题思路（参见上述“平面几何线线垂直的常用性质”）；但是，若这个平面内已知条件不足，则可把视野扩展到与这个平面相交且交线为这两根直线（之一）的其它平面上，以找到（另一个）可能存在的线面垂直或面面垂直关系，从而间接证明所需的直线间的关系。三垂线定理及其逆定理实质上就是一个特定形态的线面垂直的结论。由于其典型的特征，三垂线可看作一种线线垂直的范式，常可用在解决空间垂直问题时的一个（得到线线垂直）有效方法。

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　　三垂线定理及其逆定理详细说明见“空间角度计算”部分。

　　c) 辅助线（适用于所有立体几何问题）

　　就几何证明题而言，熟知与题相关的定义、公理与定理、性质是破题的关键，也是引入辅助线的目的或意图所在。例如，为了使用三垂线定理或其逆定理，就可能要作平面的垂线或平面上直线的垂线。

　　因此，作辅助线之前，要先明确其目的或所起作用。这样才能有的放矢地作出好用的辅助线。作辅助线的常见可能情形有：

　　①对于复杂的几何体，可能需要利用辅助线分割成若干个常见的几何体求解；

　　②对于抽象的几何体，可能需要利用辅助线补全为常见的几何体求解；

　　③当应用某定义、定理或性质时，发现缺少条件，就要考虑添加辅助线把条件补上；

　　④若有中点（一个或两个），可能需要作中位线；

　　⑤若有垂面，可能需要作垂线；

　　⑥若有对称体或面，可能需要把其中心连起来；

　　⑦若已知条件太分散，可通过添加辅助线将它们关联起来，以构造所期望的图形。

　　3. 典型示例

　　例1 如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝ 1/2PD，求证：PQ⊥平面DCQ。

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　　证明：由条件知，QA⊥平面ABCD，DC⊥AQ,

　　∵PD∥QA，

　　∴DC⊥PD，

　　又∵CD⊥DA，

　　∴DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC

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　　例2 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC1的中点，AB1与A1B的交点为O．

　　（1）求证：CD∥平面A1EB；

　　（2）求证：AB1⊥平面A1EB。

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　　证明：（1）设AB1和A1B的交点为O，连接EO，连接OD．因为O为AB1的中点，D为AB的中点，所以OD∥BB1且OD = BB1/2

　　又E是CC1中点，则:

　　（提示：此题为上一讲的平行四边形法证明线线平行的示例）

　　EC∥BB1且EC = BB1/2，即EC∥OD且EC=OD，

　　则四边形ECOD为平行四边形．所以EO∥CD．

　　又CD平面A1BE，EO平面A1BE，则CD∥平面A1BE。

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　　讲解：

　　本题第1问求证平行关系中，虽然给定的条件有中点，但无法找到或构造一个三角形把已知和求证问题关联起来，所以中位线法行不通。仔细观察后，发现可构造一个四边形把已知和求证问题关联起来，所以目标转化为证明该四边形为平行四边形（详见“线性平行”章节）。本题第2问求证垂直关系中，一般地，一个线线垂直关系可通过已知条件和平面几何性质得出——直接、简单地，另一个则需证明另一个线面垂直（EO⊥平面A1ABB1）才得出——间接、拐弯地，是出题人的考查重点所在。

　　温馨提示：更多有关其它线线线垂直方法的应用示例见后面的综合应用课程（以及大家平时的作业和测评题目）。这里举例的目的不是试图穷举所有方法的相应例题，而主要是启发示范并启发大家在解题过程中如何思考。

　　贴心分享：一个完整的、有效的学习过程是迭代地进行“预习->学习->复习”。其中复习不可或缺，相当一部分同学的学习效果差强人意的主要原因之一是缺失了‘复习’环节——结果自然类似“猴子掰玉米”！

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