2022年11月中学生标准能力测试数学选题解析

　　

　　11月份的中学生标准能力测试，对该套试卷中的几个题做一次选题解析。

　　

　　这个题目难度不大，选该题是因为双曲线离心率问题的出题方向有两种，一是结合定义和焦点三角形，二是结合渐近线，结合焦点三角形的题目很常见了，结合渐近线考查离心率时常考虑渐近线的倾斜角和斜率，本题存在直角三角形，通过三角形一个内角的三角函数值求出渐近线倾斜角的正切值，求出离心率即可。

　　相关训练习题可参考链接：高中数学压轴小题选题3之十道经典的双曲线离心率小题

　　本题对原题做了更改，若不改条件，最值是无法取到的，若作上述改动则题目就没什么难度了，三元最值问题的解题逻辑要么可直接使用均值不等式的扩展形式以及柯西不等式，要么考虑减少未知元的个数，要么多次使用均值不等式，在本题中值得注意的条件是y≥3z，据此可求出y/z的范围，因此解题时可能要把y/z整体当作变量，若按照原题条件中出现了y≥3，则可能会使用y-3作为变量。

　　

　　第11题是高考真题的变式，其实就改变了数字而已，从m,n的形式来看，符合第二层具有明显对称形式的函数构造法，除了构造法之外，本题也可作差比较，把相似的高考真题作差比较法的解析分享如下：

　　

　　第12题是一道很有意思的题目，解题的关键是能看出等式中形式的对称性，左右两侧不是严格的f(x)和g(x)形式，作差可得g(A)-f(A)=g(B)-f(B)+g(C)-f(C)+...g(n)-f(n)的形式,根据对称可知构造函数h(x)=g(x)-f(x),则有h(A)=h(B)+h(C)+...+h(n)，若n最够多，则等式右侧每一项应该保证足够小，且等式左侧足够大，作出h(x)图像可知函数最小值为1，因此只需保证函数最大值大于等于1·n即可，即若最大值为4最小值为1，则最多有4个最小值之和，若最大值为4.1，同样最多有4个最小值之和，题目重在理解，构造函数这一步很容易想到。

　　

　　第15没什么可说的，换元即可，这种题目在近几年高考中不怎么出现了，相关题型可参考链接：二项式定理中的赋值型题目选题解析

　　

　　第16题这种老式的向量最值问题在高考中也不怎么出现，若题目具有明显建系条件，优先选择建系求轨迹，设四向量起点均为原点，终点为A,B,C,D，可知C点轨迹为圆，根据不等式可知D点轨迹为某个圆上和圆内的点，所求向量和的模长的最值转化为向量差即可，此时用到的点D’的轨迹是关于原点对称的圆上或圆内的点，根据圆中距离最值的求法转化到圆心和半径上即可，这种题目知道怎么做就行了。

　　

　　

　　第20题是一道很不错的圆锥曲线最值练手题，题目条件做了一点修改，所求的就是一般的四边形，根据弦长公式表示出EF的长度，求出点B',C'到直线l的距离，最后用导数求解最值即可，解题逻辑清晰明了，但解题过程有些繁琐，读者可以自己试着做一下，如下解析过程中用到了一些硬解结论，比如快速表示出判别式，快速表示出弦长，这些硬解过程不能出现在常规解题过程中，但常规步骤结合硬解结论能简化不少运算量，看个人程度掌握即可。

　　第21题其实就考了指对数的泰勒展开式，如果事先了解指对数常见的泰勒展开形式，则题目就很容易知道往哪个方向证明了，中学生标准能力测试不是高考类型，涉及一些微积分的知识也很常见，高三备考时也可适当掌握常见函数的泰勒展开形式，例如指对数，余弦函数，有关泰勒公式在高中阶段的用法可参考链接：泰勒公式和导数放缩形式，其他题目不再给出。

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