1道经典的初中数学竞赛题，难度大，4种常用解法帮你搞定

　　大家好！本文和大家分享一道非常经典的初中数学竞赛题：已知x√(1-y)+y√(1-x)=1，求x+y的值。这道题的难度还是比较大的，不少同学看到题后都是一脸懵，其实这道题的解法非常多，本文介绍4种比较常见的解法。

　　下面我们一起来看看这道题。

　　此题如果是一道选择题或者填空题，那么用特殊值就可以秒杀。比如我们令x=1，y=0，代入后x+y也就为1。

　　特殊值可以快速得到一个答案，但是并不一定是全部答案，而且解答题一般也不用特殊值求解。那么此题该怎么解呢？

　　解法1：平方法

　　本质上说，题目条件是一个含有两个根号的方程，所以可以考虑用平方的方法去掉根号。不过不要直接平方，否则后面的计算会非常复杂，一般把两个根号分别放在等号两边再平方。两个根号一次平方是去不掉所有根号的，所以还需要进行二次平方。

　　本题的难点就在第二次平方后的计算，一是涉及到三项的完全平方，二是次数比较高。不过只要细心一点，问题不大。

　　解法2：分子有理化

　　对于两个根号的方程，除了直接平方，分子分母有理化也是一个常用方法。

　　将等式左边的分母看成“1”，然后分子分母同时乘以分子的有理化因式，化简后再与题干中的等式结合，得到一个新的等式，再平方即可。

　　其实，解法1中，在第一次平方后也是可以不进行第二次平方，而是直接配方成一个完全平方的式子；解法2中，在分子有理化并与题干等式相加后，同样可以不再平方，直接配方成完全平方。

　　解法3：换元法

　　双根号问题除了平方和有理化，换元法也是非常重要的方法。

　　令√(1-y)=m，√(1-x)=n，那么可以分别用m、n把y和x表示出来，并且可以得到mx+ny=1，然后把这些关系代入需要求解的代数式中，通过配方可以得到两个平方式子和为零的形式，再将得到的关系代入设的式子中即可解出答案。

　　解法4：三角换元

　　因为1-x≥0，解出x的范围是-1≤x≤1，同理-1≤y≤1。对于这样的范围，我们可以尝试用三角函数中的正余弦函数来换元。

　　比如设x=cosα(0≤α≤π)，y=cosβ(0≤β≤π)，所以√(1-y)=sinβ，√(1-x)=sinα，代入题干条件并通过三角恒等变换的两角和的正弦公式得到sin(α+β)=1，从而得到α+β=π/2。然后再代入所求的式子，并变形化简即可得到答案。

　　不少网友发现可以使用三角换元，但是在换元时却直接设x=sinα，y=cosα，然后代入求出x+y=1。这样做肯定是不行的，至于原因，欢迎大家在评论区讨论！

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