压轴题研题活动第79场2022年福建省第25题

　　

　　精彩点评一

　　姜老师讲解的2022年福建省中考数学第25题是一道二次函数综合题，此题考查了一次函数和二次函数的图象与性质、三角函数、三角形面积、相似三角形的判定与性质等基础知识；考查了数形结合、函数与方程，函数建模等数学思想方法；通过姜老师的精彩讲解，我收获颇多，分享如下：

　　第（1）问考查学生对基础知识的掌握情况，即通过待定系数法来求函数解析式，这一问对于大多数学生都能够解决。第（2）问通过两个三角形面积的数量关系来求点的坐标，姜老师提供了三种思路：公式法、割补法、等面积法，在公式法中姜老师始终抓住AB的长是一个定值，求出AB边上的高，将高PH“化斜为直”，通过三角形相似求出竖直线段或水平线段的长，从而确定点P的坐标；在割补法中姜老师提供了横向分割和纵向分割两种做法，将三边不与坐标轴平行的三角形补成有一边与坐标轴平行或重合的三角形；在等面积法中姜老师分别过三角形的顶点作对边的平行线来构造同底等高的三角形；第（3）问继续以面积为中心来展开讨论，求最值问题，姜老师从“构建函数和找极限位置”两方面来剖析，将三角形的面积之比转化为线段之比，而学生需要突破的第一点是有公共边的三角形的面积比转化为线段比或者相似比，第二点是斜线段的比值转化成竖直或者水平线段之比。姜老师用一题多解、一形多变来破解压轴题，巧妙递进，层次分明，逻辑清晰。

　　最后姜老师用近半个小时的时间进行教学反思，从“落实基本公式定理，构建知识网络导图，传承数学文化精神”三个方面来阐述，可见姜老师在平时的教学过程中善于归纳总结，注重知识间的关联性，比如二次函数的三种解析式：顶点式、一般式、交点式，我们按什么顺序教呢？教材上首先呈现的是最简单的二次函数y=ax2的图象和性质，然后将此图象进行上下左右平移得到二次函数的顶点式，将顶点式去括号化简就能得到一般式，进而通过配方得到求对称轴及顶点坐标的公式；在后面讲到二次函数与一元二次方程的关系时，让学生通过图象直观感知数形结合的数学思想，从而引导学生得出交点式。在平时的教学过程中，我要多向姜老师学习，将已学过的零散的知识点逐步构造成知识体系，从而提高学生的逻辑思维能力水平。

　　最后，感谢张钦博士为我们搭建的学习平台，感谢姜韵老师精彩的讲解，让我有机会向各位专家学习！

　　精彩点评二

　　解题教学，究竟怎样去教数学思维？

　　可贵的是，我们前78期研题，一直坚持“五个回归”展开了解法探究和溯源并取得了一些宝贵的成果，一直坚持注重“两个过程”中，关注知识发生与发展和学生思维过程，一直坚持知识间联系和本质为抓手培养学生怎样去“想得到”上发力。然而，面对不同视角下的多种解法，我们的学生是否真的能“想得到”？我们要以怎样一种有效的方式，或者我们还有哪些思考和操作以让他们能想得到？由此，我们的研题，道阻且长，仍有许多有价值的思考和操作。

　　2022年福建省中考数学第25题，设问于面积定值及面积比之和的最值，全面考查一次函数和二次函数的图象与性质及相似三角形的判定与性质等基础知识；深入考查数形结合、函数与方程，函数建模等数学思想方法；突出考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识等数学素养。查看直播回放，认真听姜韵老师讲解此题，收获如下：

　　一、主线中开拓支线，通法与巧法同进

　　解决一道数学题，正如孔子所说：“从心所欲不逾矩”。只有知道什么做不成，才能做什么成什么。事实上，数学家面对新的问题，也是经常研究其建立的对应的数学模型的解的存在性、求解的可行性，通过确定性与不确定性的探索，得到新的发现，新的创新。我们知道，没有100%的确定性。过度追求确定性就没有创新，必须要学会用概率思考。同时，要想逼近确定性，需要花大量的时间去获得信息——而实践的过程，本质上就是获得信息的过程。

　　我们回看姜老师对第（2）问的讲解：“若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标”。姜老师从确定的条件及三角形等图形研读入手，娓娓道来，为我们呈现了公式、割补、等积、位似等四种主线思路，并在此主线下为学生提供了多种解法的思考可能。确定即可行，存在则可求，应当是平常教学中需要渗透给学生的解答策略，并坚定确定性去思考与分析解决问题的意志。

　　上海老一辈的数学教育家赵宪初先生提出：“先要举三反一，才能举一反三”，北京名师孙维刚也主张：“一题多解，多解归一，多题归一。”赵老和孙老师所说的“一”，指的解题的一般规律。研究数学问题，特别面对解法特别多的数学问题，不能仅停留在“一题多解”的层面，要进一步对于繁花似锦的解法进行梳理，找出解决一类问题的通性，寻求主线，娴熟通法，强化根基，并在此基础上加以适时引导，散枝漫叶，拓展支线，得到特有的方法，以更好地把握数学问题的本质，巧法是建立在特定条件下对“四基”的娴熟，是对通性通法的呼应，能帮助学生追求简单，感悟数学，提升素养。

　　二、扣不变构造条件，抽象结构中由联互通

　　追求简单，一方面需要坚持强调复杂问题简单化。另一方面，是追求抽象、探求事物的本质、进而关注结论的可靠性。“变化中的不变性”是数学家特别喜欢的东西。要发现规律，其实就是要发现“变化中的不变性”。一个数学结论能否成立，关键是给了什么前提条件。现实中，很多理想没法实现，其实不是你的能力不够，而是前提条件不满足。这个时候，聪明人不会硬来，他会扣不变。善于创新的人，“退一步海阔天空”，会构造条件去作尝试性的思考探索。

　　第（3）问，“如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断S1:S2+S2:S3是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由”。姜老师在第（2）问的解答基础上，基于构建函数或寻找极限位置，为学生提供了面积比转化为底之比，或转化为高之比，或化斜为直把面积比转化为PD与OB之比，或找△ABP面积的极限位置，利用位似比求出坐标比去转化线段比等，十多种解法，一气呵成，开阔了学生的思维视野，放飞了学生的想像和思维。

　　“数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉感性的东西......线、角或者其他的量（定义），不是作为存在而是作为关系”， 亚里士多德指出这个东西存不存在本身不重要，重要是他们之间的关系。同样的说法，希尔伯特描述的非常形象：“欧几里得关于点线面的定义在数学上是不重要的，它们之所以成为讨论的中心，仅仅是因为公理述说了它们之间的关系。换句话说，无论把它作为点、线、面，还是把它们称为桌子、椅子，最终推理得到的结论都是一样的。形式上基于抽象结构，是现代数学的基本形式，可以表述为“研究对象 ”，其中的内容可以是性质、关系、运算；《课标》强调抽象，在抽象的基础上强调了抽象结构。抽象结构是近代数学发展的一个基础的东西，我们不仅要知道研究对象是什么，更要重视研究对象的性质是什么。因此，仅就“概念”教“概念”的教法是有问题的，教“概念”的同时，应当教他们的性质、关系和规律，或者其中的一样，因此概念需要螺旋式上升。

　　三、开展单元整体设计，以核心素养为导向务实“四基”

　　党的二十大报告中指出：完善科技创新体系，坚持创新在我国现代化建设全局中的核心地位，健全新型举国体制，强化国家战略科技力量，提升国家创新体系整体效能，形成具有全球竞争力的开放创新生态。加快实施创新驱动发展战略，加快实现高水平科技自立自强，以国家战略需求为导向，把各方面优秀人才集聚到党和人民事业中来。而数学是推动科技创新的基础学科、工具学科、理论依据和支撑学科，数学思维和素养，是培养创新人才最重要的学科，由此可见，我们的研题具有极其重要的意义，我们义务教育阶段的数学教师，每做一道题，每为学生在知识间联系中走向未知的探索的每一步，无比幸福和光荣。知识间联系处发力以更好地推动学生数学思维发展，抓手在哪儿？回看本节第（2）、（3）问利用位似比法去转化的解答，在大单元教学，在思维导图，在思维框架与建构网络。新课标对综合与实践内容赋予了具体内容，小学以主题式学习为主、初中尝试项目式学习。主题式学习以内容为主，常见的量以跨学科的内容的形式设计在“综合与实践”。以核心素养为导向，把有关联的知识由各个知识节点和若干知识线连接起来，形成一个网状或树状的系统的知识体系。在知识联系中，建立思维导图，构建知识网络，及时地整理归纳、理解和消化，内化为自己的能力，夯实“四基”，织牢思维链条，发展数学素养。

　　特别感谢姜韵老师呈现的精彩的第79讲！特别感谢张钦博士搭建的研题平台！

　　精彩点评三

　　福建省中考数学第25题以二次函数为背景，考查代几综合，关注函数与方程的关系，考查学生逻辑推理能力、转化能力和数据整理能力，是一道综合性强的二次函数压轴题。

　　姜韵老师从审题、析题、解题、启示等4个方面娓娓道来，由浅入深展开研题，拨开问题的“迷雾”，扫清问题的“障碍”，令人印象深刻，回味无穷！精彩的讲解衬托出姜老师高超的教学水平，循序渐进、层层深入的解题分析，让听课的学生有拨云见日、醍醐灌顶之效。反复聆听，获益匪浅！

　　姜老师非常关注学生的思维生长点，杜威曾经说过：“教育即生长”，数学的生长不仅仅体现在知识的增多，更是体现在数学思维的成长。姜老师通过本道中考题的讲解教会学生发现学习、探究学习、构建学习，从而培养学生逻辑推理的核心素养，启发学生通过数形结合、合理构造、转化化归等降维来突破难点。比如本题的第三问求三个三角形面积之比的和最大值问题，学生理解起来是比较困难的，大部分同学可能不知道如何入手解决这个问题，但是姜老师从分析题干条件出发，分析学生理解题目的困惑及解题的瓶颈，层层深入，引导学生分析出面积的比其实就是斜线段的比，而斜线段的比可以转化为相似问题或者将斜线段的比转化成水平或竖直线段的比或面积的比，再利用二次函数性质求出最值，姜老师对学生思维难点问题层层深入，逐渐拨开问题的面纱，教会学生思考的方法，优化学习数学的思维方式，进而开启学习数学的进阶之路。

　　姜老师非常注重方法归纳提炼，多解归一。第2问求三角形的面积姜老师讲得非常透彻，不仅注重一题多解、一题多思、一题多变，并对多种方法进行归纳总结，提炼出“通法”。在反思环节，姜老师提出课堂教学要落实基本公式定理，并深入挖掘教材，展示三角形面积公式的演变及在不同的题目背景下如何运用知识解决实际问题，对今后的教学很有启发。

　　姜老师通过构建知识网络导图的方法在教学中渗透“四基”、“四能”的培养，在培养学生的数学兴趣方面，以丰富的实例阐述课堂教学如何传承数学文化精神，如何立德树人，如何为学生的可持续发展奠基。

　　总之，姜老师的研题是在充分了解学情的情况下进行的有效设计，令人深受启发，获益匪浅！感谢姜韵老师的精彩讲解！感谢张钦博士搭建的研题学习平台！

　　精彩点评四

　　这道福建中考25题第二问与第三问都在围绕面积的考点展开，从面积为特殊值到面积的比求最值，基本上把初中阶段关于面积的考点都涉及到了。是一道包容性非常强的题。学生可以根据自己的知识结构找到对应的解题方法。姜老师对于这道题的讲解方法上也十分全面，直接求面积、通过割补，变形，运动的方式间接求面积、利用面积比为相似比的平方，将面积比转化为线段比，细致周到。关于这道题，我有以下两个方面的思考：

　　一、初中阶段的三角形面积：初中阶段关于利用三角形的面积解决几何问题是一个简便且使用 的方法，通过计算三角形的面积将“形”与”数”灵活的结合起来，其核心考点在直接求三角形面积、利用圆，扇形面积公式直接求三角形的面积；间接割补法求三角形的面积，利用割补、运动、变形等方式将三角形的面积转化成四边形，规则图形求其面积；第三类是利用面积比等于高之比或者对应边之比的平方，用相似的知识解决。姜老师的讲解第二问八种方法和第三问将近10种方法，基本上可以包含出我们所有的方法归纳和涉及到各个考点。后面对三角形面积公式的演变推理也可以帮助我们理解三角形面积的几种解法。这是我们在教学过程中很容易忽略的。

　　二、关于几何大题之间的问题关联性：很多时候几何大题的设问是层层递进的，这道题我们拨开前期关于面积的处理，第一问表面上是求ΔOAB面积是ΔPAB面积的2倍，这里ΔOAB的面积为定值，意味着ΔPAB的面积也为定值，在ΔpAB的底已知的前提下，这一问的核心实际上是求ΔPAB高为定值。这是一种特殊情况；第二问看起来更复杂，求S1:S2+S2:S3的值，我们从图形中抽象出面积比为边之比的平方，最后化简出所求的比值的最值为2PD:OB的最值，这里OB为定值，由此可得核心的计算点也是是ΔPAB高的最值。拨开面积求法的迷雾，我们就把这道题转化成了我们平时训练的常规题型，已知三角形的底，求高为定值和高为最值。这种从特殊到一般的考法也是代几综合常见的出题方式。“降低起点，兼顾选拔”，我们在讲解这类设问具有关联性的题目时也需要给学生一个明确的解读，一般的解题思路是对一个模型的运用到模型的构造，或者类似这道福建中考题，是由特殊数值转化到二次函数求最值的运用，变的是求线段长的知识点运用，不变的同一条线段，同一种方法。学生从特殊的关系中找到解题方法，再从特殊的方法出发解决最值的设问。一道试题通常扁阔显性要素和隐形内涵，这题的显性要素是三角形面积，隐形内涵则是ΔPAB的高，他是试题立意、问题本质、核心素养的体现，因此，老师帮助学生理清出题者的命题思路，构建数学知识体系，也便于我们在备考时以常规应创新，以不变应万变。

　　小小的三角形面积的考点，可以挖掘出这么多这么深的内容，作为老师，授人以鱼不如授人以渔，我们确实要接受不同角度的解题方法，研究更多的解题方法，将每一道习题从命题者的设计意图、每一个知识点可以解题的思路、每一种方法的运用都讲深讲透。让习题发挥其极致的作用。也感谢研题平台让我们有这个机会碰撞出这么多的想法。

　　个人感言

　　2022年福建省中考数学第25题是一道基于三角形面积的代几综合题，考查一次函数和二次函数的图象与性质、三角函数、三角形面积、相似三角形的判定与性质等基础知识，考查数形结合、函数与方程，函数建模等数学思想方法，考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识等数学素养。

　　本题第二问第三问都涉及到三角形面积，从给出面积比要求点的坐标，再到根据给定的特殊位置（平行）求三角形面积比，在第二问中，学生需要根据解析式表示动点坐标，用坐标表示线段长度，这一小问难度适中，从计算上来看学生需要突破用解析式表示点的坐标，用坐标表示线段的长度，从图形理解上看，学生需要突破用割补法来表示斜三角形面积。同时，这一问也是为第三问作铺垫，后面第三问中仍是继续以面积为中心展开提问，所以掌握三角形面积的求法非常重要。在第三问中题目中的三个信息衍生出三个思路，求最值想到构建二次函数模型或者找极限位置，由平行联想到三角形相似，由三角形有公共边想到同底或者同高将面积比转化为线段的比值。

　　在整个研题的过程中，从最开始的研究多种解题思路，后来研究教学启示，从本题为出发点，研究三角形面积的公式与演变应用，研究二次函数的教学如何构建知识网络，最后思考如何培养学生的数学素养就想到了最近在七年级的课本中感受到数学的人文素养精神，由此想到我们不光要教会学生数学知识，更要让学生深刻体会到生活中处处有数学，能用数学的眼光，数学的思维去看待世界，因此感谢张钦博士为我们提供的学习交流的平台，同时也要感谢黄毅老师给予的指导，通过黄老师的指导，让我又重新分析自己的教学反思是否真正从教学的角度出发去落实，是否真正具有切实可行的操作性。还要感谢叶先玖老师，陈莉丽老师，丁芳老师，王艳老师的精彩点评，感谢您们的聆听及更高层次的分析和见解，最后还要感谢研题群内的各位专家以及当阳育林学校初中数学组给我提供的思路和建议，正是有了他们的帮助，才有这次完整的研题。

　　最后，作为一名数学老师，今后我还要多学习，多进行解题和命题研究，更好的引导学生分析问题，更好的培养学生的学习思维，更好的激发学生学习数学的兴趣。

　　姜韵老师简介

　　姜韵，女，中国共产党党员，当阳育林学校青年教师，宜昌市初中数学工作室成员。曾获当阳市师德标兵，优秀辅导员等荣誉称号，在命题评比中多次获得一等奖。教学格言：信赖、尊重，让每个孩子都有灿烂的微笑！