2011年高考数学压轴题，导数综合题，正确率不到5％

　　大家好！本文和大家分享一下这道2011年高考全国1卷数学压轴题。这是一道导数综合题，综合考查了导数的计算、导数的几何意义、直线方程、导数与函数单调性以及分类讨论等知识。这道题的难度还是比较大的，特别是第二小问的正确率不到5％。

　　

　　先看第一小问：求a、b的值。

　　a、b是两个参数，要求两个未知数的值需要两个方程，也就是需要两个条件。但是题干只告诉了切线方程这一个条件，所以我们需要充分挖掘切线方程隐含的信息。

　　首先，该切线过点(1,f(1))，所以将x=1代入切线方程可以得到y=1，即f(1)=1。根据f(x)的解析式可知，f(1)=b，所以有b=1。

　　其次，由切线方程可以求出该切线的斜率为-1/2，结合导数的几何意义可得f'(1)=-1/2。所以先对f(x)求导，得到f'(1)=a/2-b，则有a/2-b=-1/2，解得a=1。

　　

　　再看第二小问：求k的取值范围。

　　第二小问的难度很大，我们先和大家分享一下参考答案的解法，然后再重点和大家分享一个更加容易理解和想到的解法。

　　f(x)＞lnx/(x-1)+k/x，就等价于f(x)-lnx/(x-1)-k/x＞0，所以就变成了函数g(x)=f(x)-lnx/(x-1)-k/x的最小值大于零。

　　先对g(x)求导，然后将k分为(-∞,0]、(0,1)、(1,+∞)三种情况进行讨论，最终得出k的取值范围。

　　

　　对于解法一，很多同学表示很难想到将k分为这三类来讨论，本文也就不再赘述了，有兴趣的同学可以看一下上图的解析。接下来重点和大家讲一下解法二。

　　求参数的取值范围，在高中阶段有一个非常重要的方法就是参变分离，也就是将参数和变量分开。本题参变分离后得到k＜-2xlnx/(x^2-1)+1在x＞0且x≠1时恒成立，于是就转化成了一个恒成立问题。再进一步转化就变成了k小于等于函数g(x)=-2xlnx/(x^2-1)+1在x＞0且x≠1上的最小值。

　　

　　先对g(x)求导，见下图。从g'(x)的表达式来看，g'(x)的正负取决于分子的正负，所以我们先讨论分子的正负。令h(x)=x^2-x^2lnx-lnx-1，则h'(x)=x-2xlnx-1/x，h''(x)=1/x^2-2lnx-1。

　　由于h''(x)在x＞0时为减函数，且h''(1)=0，所以有h'(x)＜h'(1)=0，从而得到h(x)为减函数，且h(1)=0。于是，当0＜x＜1时，g'(x)＜0，当x＞1时，g'(x)＞0，所以有g(x)＞g(1)。

　　但是，当x=1时，g(x)无意义，也就说无法求出g(1)的值，那该怎么办呢？如果我们只看g(x)分式的部分，可以发现当x=1时，分子分母都为零，且分子分母的导数都存在，所以可以用洛必达法则来求解。即将分子分母先求导，再求极限，从而得到g(1)=0。于是就有k≤0。

　　

　　洛必达法则解这道题的思路比解法一更简单，但是在高考中用洛必达法则可能会扣分，所以洛必达法则在高考中尽量少用。

　　举报/反馈