2022北京市海淀区高三一模数学导数压轴题专题知识讲解

　　

　　2022年北京市海淀区高三一模数学试卷导数压轴题，考察了含参的指数函数与整式函数乘积的函数性质，包括极值与最值．原题如下：

　　19．（14分）已知函数f(x)=ex(ax2－x＋1)

　　（Ⅰ）求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的方坚；

　　（Ⅱ）若函数f(x)在x=0处取得极大值，求a的取值范围；

　　（Ⅲ）若函数f(x)存在最小值，直接写出a的取值范围．

　　事实上，关于“指数函数与整式函数乘积的图象与性质”，在教材例题与高考考题中均多次出现，值得特别重视！

　　在新高考数学教材中，出现了形如f(x)= (kx＋b)ex、f(x)= (ax2＋bx＋c)ex的例题，具体如下：

　　例1. 新高考2019版高中数学人教A版教材，选择性必修第二册，P95，例7

　　给定函数f(x)=(x＋1)ex

　　(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值；

　　(2)画出函数f(x)的大致图象；

　　(3)求出方程f(x)=a(a∈R)的解的个数．

　　例2. 新高考2019版高中数学人教B版教材，选择性必修第三册，P90，例1

　　求函数f(x)= xex的单调区间．

　　例3. 新高考2019版高中数学人教B版教材，选择性必修第三册，P95，例3

　　已知f(x)= x2ex，x≤1，求f(x)的极值点、极值、最值点、最值．

　　这里先阐述一下相关概念和我们今天的研究对象：

　　整式包括单项式和多项式，通常认为单项式是多项式的特例，因此，整式与多项式的概念可以认为是相同的．

　　整式函数（多项式函数），指形如f(x)=an·xn＋an－1·xn－1＋…＋a2·x2＋a1·x＋a0(an≠0)的函数．显然，当n=1时，其为一次函数f(x)=kx＋b(k≠0)，当n=2时，其为二次函数f(x)= ax2＋bx＋c(a≠0)，当n=3时，其为三次函数f(x)=ax3＋bx2＋cx＋d (a≠0)．

　　指数函数与整式函数的乘积，是指形如：f(x)= (kx＋b)ex, f(x)= (ax2＋bx＋c)ex, f(x)= (ax3＋bx2＋cx＋d)ex等的函数．

　　接下里，我们就依次研究指数函数与一次、二次、三次函数的乘积，研究一下它们的图象与性质．

　　考虑到函数f(x)与函数kf(x)的图象之间，只是在y轴方向上进行了伸缩（若k<0，则翻折），对于零点和极值点（若k<0，则极大值点变为极小值点，极小值点变为极大值点）没有影响，对于单调性或者保持不变或者完全相反，故此，我们不妨设整式函数中最高次项的系数为1．具体如下：

　　一、指数函数与一次函数的乘积f(x)= (x＋a)ex

　　1 定义域

　　f(x)的定义域为R．

　　2 单调性与极值点

　　f ′(x)= (x＋a＋1)ex

　　令f ′(x)=0，解得x=－a－1．

　　当x<－a－1时，f ′(x)<0，f (x)在(－∞,－a－1)上单调递减；

　　当x>－a－1时，f ′(x)>0，f (x)在(－a－1,＋∞)上单调递增．

　　x=－a－1为f(x)的极小值点，极小值为f (－a－1)=－e－a－1

　　3 与x轴、y轴的交点

　　令f(x)=0，解得x=－a．

　　x=－a为f(x)的零点．f(x)的图象与x轴有一个交点(－a,0)．

　　f(0)= a． f(x)的图象与y轴有一个交点(0,a)．

　　4 图象

　　

　　二、指数函数与二次函数的乘积f(x)= (x2＋px＋q)ex

　　1 定义域

　　f(x)的定义域为R．

　　2 单调性与极值点

　　f ′(x)= (x2＋px＋q＋2x＋p)ex=[(x2＋(p＋2)x＋(p＋q)]ex

　　显然，我们要通过研究f ′(x)的符号，确定f(x)的增减；通过f ′(x)的零点，确定f(x)的增减分水岭，也就是f(x)的极值点．而f ′(x)的正负与零点完全由(x2＋(p＋2)x＋(p＋q)这个因式所决定．

　　记二次函数g(x)=x2＋(p＋2)x＋(p＋q)的判别式为△1

　　

　　三、指数函数与三次函数的乘积 f(x)= (x3＋ax2＋bx＋c)ex

　　这里我们就不进行全面的讨论了，具体的方法同前．

　　下面通过一个例题，来进行其中一个类别的讨论与体会．

　　例4. 求函数f(x)=(x3＋x2－13x＋19)ex的单调区间．

　　分析：f(x)定义域为R

　　f ′(x)= (x3＋x2－13x＋19＋3x2＋2x－13)ex=(x3＋4x2－11x＋6)ex

　　设g(x)= x3＋4x2－11x＋6

　　令f ′(x)=0，等价于g(x)=0，显然x=1是g(x)=0的一个根．

　　所以，x3＋4x2－11x＋6有一个因式(x－1)，

　　所以，g(x)= x3＋4x2－11x＋6=(x－1)(x2＋5x－6)= (x－1)2(x＋6)

　　x=1是f ′(x)的不变号零点，对于f(x)的单调性没有影响；

　　x=－6是f ′(x)的变号零点，是f (x)的极值点，是增减的分水岭．

　　当x<－6时，f ′(x)<0，f(x)在(－∞,－6)上单调递减；

　　当x>－6时，f ′(x)>0，f(x)在(－6,＋∞)上单调递增．

　　总结：求函数f(x)= (x3＋ax2＋bx＋c)ex的单调区间，我们用其导函数f ′(x)进行研究，而f ′(x)形如(x3＋a1x2＋b1x＋c1)ex，由于其中的ex>0，我们只需要研究g(x)= x3＋a1x2＋b1x＋c1的零点与正负．这个问题归结为三次函数零点的问题，可以参阅《高考数学之三次函数，你确认掌握了吗？对称中心、极值、零点……》．

　　最后，我们留3个习题，供同学们巩固演练．

　　习题1. 求函数f(x)=(x－2)ex的单调区间．

　　习题2. 求函数f(x)=(2x2＋2x＋1)ex的单调区间．

　　习题3. 求函数f(x)=(x3－4x2＋6x－6)ex的单调区间．

　　本专题，我们以指数函数与整式函数的乘积函数为研究对象，通过导函数f ′(x)研究原函数f(x)的图象，并得到了一些结论．

　　在研究过程中，我们通过f ′(x)的符号，确定f(x)的增减；通过f ′(x)的零点，确定f(x)的增减分水岭，也就是f(x)的极值点．这里要注意判断f ′(x)的零点的性质，如果是变号零点，则是f(x)的极值点，如果是不变号零点，则不是f(x)的极值点．

　　希望同学们熟练掌握这种研究方法，熟练执行具体的操作程序，并注意其中导函数零点的性质判断．

　　掌握了这些基本功，2022年北京市海淀区高三一模数学试卷导数压轴题，自然不在话下！

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