初二上学期，一次函数图像常见四种应用，难度较大

　　函数常见的应用主要包括实际应用和几何图形上，能够从所给的图像中找到解决问题的突破口，并通过函数图像求出函数一次函数解析式，从而解决实际应用题和几何问题。这类题目常与热点题型相结合，考查综合分析能力，难度较大。

　　01行程问题

　　行程问题常考的有两类问题，一类是s-t图像问题，一类是y-t图像问题，解题时可以画示意图辅助思考。

　　例题1：从甲地到乙地，先是一段上坡路，然后是一段平路，小冲骑车从甲地出发，到达乙地后休息一段时间，然后原路返回甲地．假设小冲骑车在上坡、平路、下坡时分别保持匀速前进，已知小冲骑车上坡的速度比平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km，设小冲出发x h后，到达离乙地y km的地方，图中的折线ABCDEF表示y与x之间的函数关系．

　　（1）求小冲在平路上骑车的平均速度以及他在乙地的休息时间；

　　（2）分别求线段AB、EF所对应的函数关系式；

　　（3）从甲地到乙地经过丙地，如果小冲两次经过丙地的时间间隔为0.85h，求丙地与甲地之间的路程．

　　分析：解题前，先看清楚横、纵坐标所表示的含义，横坐标表示的为小冲出发后的时间，纵坐标表示的为离乙地的距离。从图像上看，大致可以分为AB-BC-CD-DE-EF这五段，其中CD的纵坐标为0，说明小冲在乙地没有运动，其它几段的斜率不一样，因为上坡、下坡和平路的速度是不一样的。

　　（1）先计算出小明骑车上坡的速度，再根据骑车上坡的速度比平路上的速度每小时少5km求出小明平路上的速度；求出小明下坡的速度，平路上所用的时间，下坡所用的时间，那么小明在乙地休息的时间=1h-小明上坡所用的时间0.2h-平路上所用的时间-下坡所用的时间；

　　（2）根据上坡的速度为10km/h，下坡的速度为20km/h，所以线段AB所对应的函数关系式为：yAB=6.5-10x，线段EF所对应的函数关系式为yEF=4.5+20（x-0.9），即可解答；

　　（3）设小明出发a小时第一次经过丙地，根据题意得到6.5-10a=20（a+0.85）-13.5，求出a的值，即可解答．

　　本题考查了一次函数的应用，行程问题数量关系的运用，一次函数解析式的确定，一元一次方程的运用．解决本题的关键是读懂函数图象，求出一次函数的解析式。

　　02工程问题

　　工程问题也是热点问题之一，注意分类讨论思想和数形结合思想的运用。

　　例题2：甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组在加工过程中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍，两组各组加工零件的数量y（件）与时间x（时）的函数图象如图所示．

　　（1）求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式；

　　（2）求乙组加工零件总量a的值；

　　（3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每次生产达到150件就装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第2箱？

　　分析：（1）求函数解析式，甲是一条过原点的直线，因此为正比例函数，可设y=kx（k≠0），只有一个未知数，带入一个点求出k的值即可。通过图像可以发现，过点（6，360）。

　　（2）乙是一条折线，先求出乙一开始的加工速度，然后再求出改进设备后的加工速度，改进设备后又工作了4.8-2.8=2小时，由此求出乙组加工零件总量。

　　（3）根据题意利用分类讨论的数学思想进行解答，分三种情况：（1）0＜t≤2；（2）2＜t≤2.8；（3）t＞2.8.

　　本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答。

　　03分段函数问题

　　例题3：为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费a元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨a元收费，超过10吨的部分，按每吨b元（b＞a）收费．设一户居民月用水x吨，应收水费y元，y与x之间的函数关系如图所示．

　　（1）求a的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？

　　（2）求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数关系式；

　　（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月各用水多少吨？

　　分析：分段函数除了在分段计费问题外，在很多问题中都有应用，一般会与分类讨论思想相结合。（1）（2）主要考查的是分段函数的应用，应结合函数的图形，按不同的时间段进行逐段分析；（3）根据题意，可以分段利用方程或方程组解决用水量问题。

　　04几何问题

　　例题4：如图①所示，正方形ABCD的边长为6cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C→D运动，设运动的时间为t（s），三角形APD的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题：

　　（1）点P在AB上运动的时间为（）s，在CD上运动的速度为（）cm/s，三角形APD的面积S的最大值为（）cm2；

　　（2）求出点P在CD上运动时S与t之间的函数解析式；

　　（3）当t为何值时，三角形APD的面积为10cm2

　　分析：（1）直接根据函数图象上坐标可求出点P在AB上运动的速度为 6÷6=1cm/s，在CD上运动的速度为 6÷3=2cm/s；（2）用t表示PD=6-2（t-12）=30-2t，代入面积公式可求S=90-6t；（3）通过图象可知，△APD的面积为10cm2．即S=10，得到S=3t和S=90-6t，求解即可。

　　一次函数知识点回顾：

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