初中数学培优 七年级下 第二十讲 初中数学答题技巧之对称性

　　中国目前初中数学教育大纲基于以下这个情况，即绝大多数人现实生活中只会用到三年级以下的数学，因此难度下降很大，属于普遍教育。而高中数学的难度并没有下降，因此初高中之间的衔接存在着很大的困难。

　　我曾经遇到过本地区最好的公办初中的一个学生，她在初中排在年级前20名（年级总共500多学生），但是进入高中后感觉非常吃力，跟不上进度。和她交流后我一句话概括，现在的初中数学要求太低，难度太低。

　　本系列专题讲座的习题和例题都来自各年中考题以及重点高中的自招题，难度高于中考的平均程度，差不多是重点高中的自招难度。

　　系列里面许多解题方法和扩展的知识对进入高中后的数学学习是极其必要的补充。

　　系列的习题和例题都在不断丰富和更新中。

　　第二十讲 初中数学答题技巧之对称性

　　一、知识框图

　　二、重点难点分析

　　首先，不要认为一些答题技巧是旁门左道。学生学习的不仅仅是知识，更重要的解决问题的能力。解决问题的能力不仅仅是知识，还有技巧。从智慧的角度看，技巧更高于知识。因为技巧会让你解决一些你以前没有学过、经历过难题，但是知识只能解决见过的问题。

　　答题技巧有很多：特殊值法、作图法、极限思想法（和特殊值法比较相似）、排除法（筛选法）、代入法等等。

　　这个讲座的内容是利用对称性解题。

　　一提到对称性，想到的就是轴对称、中心对称等图形方面的对称性，但是代数式也是有对称性的。因为这是七年级的内容，我们只讲代数方面的对称性。

　　数学教材很多地方都强调对称性，因此命题人会出相关的考题。在命题时，命题人会在形式上提醒：这个题考的是对称性。所以，读懂暗示，揣摩命题人思路，也是解答难题必不可少的环节。

　　本讲通过几个因式分解和方程的题目介绍对称性的概念，以及如何利用对称性解题。

　　三、例题精选

　　例1因式分解：x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)

　　解析：这是一个轮换对称的多项式。

　　交换任意两个字母的位置后多项式不变，称为对称式；如果按一个循环进行交换（比如x换y，y换z，z换x）后多项式不变，称为轮换对称式。

　　例如，x+y，xy，(x+y)/xy，x^2+y^2+z^2，xy+yz+zx都是对称式。

　　例如：x+y，xy，(x+y)/xy，x^2+y^2+z^2，xy+yz+zx，x2y+y2z+z2x都是轮换对称式。

　　对称性必定是轮换对称式，一次轮换对称式和二次轮换对称式必定是对称式，但是三次或三次以上的轮换对称式不一定是对称式。比如上面的x2y+y2z+z2x。

　　在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在关于x、y、z的对称多项式中，如果有ax3项，则必有ay3、az3项；若有bx2y项，则必有bx2z，by2z、by2x、bz2x、bz2y项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。根据对称多项式的定义，可以写出含n个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x、y、z的二次对称多项式的一般形式是： a(x2+y2+z2)+b(xy+yz+zx)

　　+c(x+y+z)。

　　好了，开始解题。

　　利用主元法，把原多项式看作x的多项式，y、z当做参数，那么改写多项式，以降幂排列：

　　原式=x2(y-z)+x(z2-y2)+y2z-yz2

　　= x2(y-z)-x(y-z)(y+z)+yz(y-z)

　　=(y-z)(x2-x(y+z)+yz)

　　=(y-z)(x-z)(x-z)

　　=-(x-y)(y-z)(z-x).

　　最后的形式以x-y、y-z、z-x的乘积出现，同样呈现出轮换对称的特点，相差的就是乘积之前的一个常数k，本题k=-1.

　　例2 因式分解：a3+b3+c3-3abc

　　解答：这是一个对称式，a、b、c三个字母任何互换，多项式不变。

　　令c=0，则原式= a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

　　因为是对称式，a+b这项必然是a+b+c；a2-ab+b2必然是a2+b2+c2-ab-bc-ac.

　　∴原式=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ac）.

　　例3 因式分解：x4+y4+(x+y)4

　　解答：这是一个齐次式，也是对称式。

　　一个多项式的各项的次数均等于同一个常数A，那么称这个多项式为A次齐次多项式。比如本题就是两元的四次齐次多项式。

　　二元齐次对称式：

　　（1）一次：a(x+y)

　　（2）二次：a(x2+y2)+bxy

　　（3）三次：a(x3+y3)+bxy(x+y)

　　三元齐次对称式：

　　（1）一次：a(x+y+z)

　　（2）二次：a(x2+y2+z2)+b(xy+yz+xz)

　　（3）三次：a(x3+y3+z3)+b[x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y)]+cxyz.

　　好了，开始解题。

　　由题目，3个式子都是4次式，把多项式看作x的多项式（y当成参数），那么必然没有关于x的一次项因式，必然是2个二次项的乘积。用待定系数法：

　　设原式=a（x2+bxy+y2）(x2+cxy+y2)

　　对比x4的系数，直接可以得a=2；

　　用特殊值法：

　　令x=y=1,则（2+b）（2+c）=9；

　　令x=1，y=2，则（5+2b）（5+2c）=49

　　解得b=c=1;

　　因此原式=2（x2+xy+y2）2

　　例4 因式分解：（y2-z2）(1+xy)(1+xz)+(z2-x2)(1+yz)(1+yx)+(x2-y2)(1+zx)(1+zy)

　　解答：显然这是一个轮换对称式。

　　从前面几个例子我们可以发现一个技巧：凡是轮换对称的多项式都含有类似（x-y）或者x+y的因式。

　　令y=z，则原式=0,所以有（y-z）这个因式，由轮换对称性，那么必然有(x-y)(y-z)(z-x)这三个因式。

　　原多项式最高6次，用待定系数法：

　　设原式=(x-y)(y-z)(z-x) [a(x3+y3+z3)+b(x2y+y2z+z2x)+c(xy2+yz2+zx2)+dxyz+e(x2+y2+z2)

　　+f(xy+yz+zx)+g(x+y+z)+h]（a-h都是待定的系数）

　　观察原式，发现x最高3次，

　　∴a、b、e=0

　　同理，c=0；

　　代入四组不同的特殊值，可以解得：

　　d=1,f=0,g=1,h=0

　　在求解过程中，还可以简化：原式中，x2的系数为0，那么h=0；

　　此时只要三组特值即可。

　　原式=(x-y)(y-z)(z-x)（xyz+x+y+z）

　　例5 解方程 (x-b-c)/a+(x-a-c)/b+(x-a-b)/c=3，其中a、b、c都是正数。

　　解：分析题目，看懂题目暗示，这个题目字母a、b、c具有轮换对称性；如果进行变形后，能够实现a、b、c对称，这个题目就非常好解了。

　　原方程变形为(x-b-c)/a-1+(x-a-c)/b-1+(x-a-b)/c-1=0；

　　即：(x-a-b-c)/a+(x-a-b-c)/b+(x-a-b-c)/c=0;

　　提取公因式（x-a-b-c）(1/a+1/b+1/c)=0.

　　∵a、b、c都是正数，1/a+1/b+1/c≠0；

　　∴x=a+b+c.

　　例6 在实数范围内解方程x(x+1)(x+2)(x+3)=3

　　解：这个一个高次方程，似乎与对称性无关。但是我们把x当做一个数时，发现这方程左边4个数呈等差数列，那么我们可以把第一项和第四项组合，第二项和第三项组合，在某种意义上，这也是一种对称。

　　（x2+3x）(x2+3x+2)-3=0;

　　（x2+3x+3）(x2+3x-1)=0

　　即x2+3x+3=0①

　　或x2+3x-1=0②

　　由根的判别式可知，①无解。

　　∴x=(-3±√13)/2

　　例7 求1/x+1/y+1/z=5/6的正整数解的数量。

　　解：x、y、z是对称的，因此我们可以加上假设对x、y、z进行约束。这是一个常用的技巧：假设 x≤y≤z.

　　假设1

　　1/x+1/y+1/z≤3/x, 即x≤3.6

　　当x=2时，1/y+1/z=1/3≤2/y即y≤6

　　当y=2时，无解，

　　当y=3时，无解，

　　当y=4时，z=12,

　　当y=5时，无解，

　　当y=6时，z=6.

　　当x=3时，1/y+1/z=1/2≤2/y，即y≤4；

　　当y=3时，z=6

　　当y=4时，z=4.

　　即共有四组解（2,4,12,）（2,6,6）（3,3,6）（3,4,4）

　　因为x、y、z是对称的，因此上述每组答案可以用排列组合的方式得到最后的解：

　　比如（2,4,12）可以（2,4,12）（2,12,4）（4,2,12）（4,12,2）（12,2,4）（12，4,2）共3*2=6组答案。

　　另外三组只要确定不同的元素位置即可，比如（2,6,6）的不同元素是2，那么共3组答案：（2,6,6）（6,2,6）（6,6,2）。

　　因此总共3*2+3*3=15组解。

　　例8 {█(（1+4x^2 ）y=4x^2①@(1+4y^2 )z=4y^2②@(1+4z^2 )x=4z^2③)┤

　　解：这是个轮换对称的方程组，必有x=y=z的解。

　　显然x=y=z=0是方程组的解。

　　当xyz≠0时，①两边同除以4x2，并移项，得：1+1/(4x^2 )=1/y;④

　　同理可得1+1/(4y^2 )=1/z, ⑤,

　　1+1/(4z^2 )=1/x⑥

　　④⑤⑥三式相加，并移项得：(1+1/(4x^2 )-1/x)+(1+1/(4y^2 )-1/y)+(1+1/(4z^2 )-1/z)=0;

　　每个括号内配方后得（1/2x-1）2+(1/2y-1）2+(1/2z-1）2=0;

　　∴x=y=z=0.5.

　　这个题目如果进行变形：█(（1+4x^2 ）y=4z^2①@(1+4y^2 )z=4x^2②@(1+4z^2 )x=4y^2③)，那么做法相同，

　　区别在于用到不等式：(y/x)2+(z/y)2+(x/z)2≥3(〖(y/x z/y x/z)〗^2 )=3，难度又提高了一点。

　　四、练一练

　　这是个答题技巧，因此不再另外加习题了。

　　

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