职高数学，函数y=5(sinx)^2+2√3sinxcosx+3(cosx)^2

　　

　　问题的答案放在了文章的最后面。

　　同学们，大家好！

　　这篇文章我们准备介绍职高数学中三角函数中的一种类型，就是求三角函数式子的周期和最值及单调区间。这种类型的问题一般都是综合性的问题，比较难求，所以好多同学遇到的时候都不知道从何下手，今天我们就专门拿出来讲一讲这种问题怎么来解的。

　　同学们，大家一定要仔细的看我们所写的解题过程，一定要仔细观察老师在解决这些问题中都运用到了哪些方法。因为这道题有好几问，所以每一问用的方法都是不一样的，用的方法较多，大家一定要仔细的看清，并且记住老师所讲的这些方法。只有这些方法大家都掌握了，以后遇到这种综合性的问题，大家才能够做出来。

　　同学们，大家记清，我们解决这样类型的问题所需要运用到的方法就是：二倍角的余弦公式，二倍角的正弦公式，周期公式，三角函数的最值和单调区间，大家在底下一定要多看几遍，多做几遍。只有这些知识点都掌握了之后，我们遇到这样问题的时候，才能够知道怎样来做。

　　同学们，下面我们就来看一下这道问题的解题思路。

　　由二倍角的余弦公式可知

　　cos2x=2(cosx)^2-1

　　(cosx)^2=(1+cos2x)/2①

　　cos2x=1-2(sinx)^2

　　(sinx)^2=(1-cos2x)/2②

　　由二倍角的正弦公式可知

　　sin2x=2sinxcosx

　　2sinxcosx=sin2x③

　　上述3式代入可得

　　y=5·(1-cos2x)/2+√3sin2x+3·(1+cos2x)/2

　　=5/2-(5/2)cos2x+√3sin2x+3/2+(3/2)cos2x

　　=√3sin2x-cos2x+4

　　=2[(√3/2)sin2x-(1/2)cos2x)]+4

　　=2[sin2xcos(π/6)-cos2xsin(π/6)]+4

　　=2sin(2x-π/6)+4

　　(1)

　　由周期公式T=2π/|ω|可知

　　T=2π/2=π

　　最大值为2+4=6，最小值为-2+4=2

　　所以函数y的周期为π，最大值为6，最小值为2

　　(2)

　　当2x-π/6=π/2+2kπ(k∈z)，即

　　sin(2x-π/6)=1时，函数取得最大值

　　此时

　　2x=π/2+π/6+2kπ

　　2x=2π/3+2kπ

　　x=π/3+kπ(k∈z)

　　(3)

　　函数y=sinx的单调递增区间为[-π/2+2kπ，π/2+2kπ](k∈z)

　　则对于函数y=2sin(2x-π/6)+4

　　-π/2+2kπ≤2x-π/6≤π/2+2kπ

　　-π/3+2kπ≤2x≤2π/3+2kπ

　　-π/6+kπ≤x≤π/3+kπ

　　所以函数y的单调递增区间为[-π/6+kπ，π/3+kπ](k∈z)

　　同学们，这样我们就得到了这个问题的答案，大家可以看一下我们所写的解题过程，因为这道题问的比较多，所以我们写的解题过程比较长，但是思路是非常清晰的，只要大家仔细的看，就一定能够明白老师所讲的其中的含义的。大家一定要掌握老师每一问中所应用到的方法，要记住这些公式。因为只有这些公式记清了之后，我们以后才能够做出来这样的题型。

　　同学们，大家记清我们解决这样的问题，通常所需要应用到的方法就是：二倍角的余弦公式，二倍角的正弦公式，周期公式，记住最值，取得最值时的条件和单调区间，即

　　①二倍角的余弦公式为

　　cos2x=2(cosx)^2-1

　　cos2x=1-2(sinx)^2

　　cos2x=(cosx)^2-(sinx)^2

　　大家记清二倍角的余弦公式有三个，我们本道题主要是运用前两个公式；

　　②二倍角的正弦公式为

　　sin2x=2sinxcosx

　　③上述式子代入已知的函数式子之后，经过化简得到的式子，需要运用到辅助角公式，大家还要记住辅助角公式，即

　　asinx+bcosx=√(a^2+b^2)sin(x+φ)；

　　④周期公式为

　　T=2π/|ω|

　　⑤正弦函数y=sinx的最大值为1，最小值为-1；

　　⑥正弦函数y=sinx取得最值时的条件，即

　　当x=π/2+2kπ(k∈z)时，函数取得最大值1；

　　当x=-π/2+2kπ(k∈z)时，函数取得最小值-1；

　　本道题主要是用第一个式子来求解；

　　⑦单调区间，即

　　函数y=sinx的单调递增区间为[-π/2+2kπ，π/2+2kπ](k∈z)；

　　函数y=sinx的单调递减区间为[π/2+2kπ，3π/2+2kπ](k∈z)；

　　本道题主要是用第一个公式。

　　大家一定要记住这些知识点，因为这些知识点比较多，大家一定要在底下好好的看看，要记清这些公式，只有这些公式记清记熟之后，我们以后才能做出来同样的题型。

　　同学们，这就是我们今天所讲的方法，你都掌握了吗？请在后面的评论区告诉我吧！

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