2022年3月中学生标准能力测试数学选填压轴解析

　　每一期中学生标准能力测试卷我都会去看，因为试卷中大部分的题原创性都不错，而且从试卷中也能看到一些出题新颖且有导向性的题目，至于学生在这份试卷中的分数反而没必要过于深究，选出选填中三道题目，分享如下：

　　

　　第12题不是原创题，至少这种形式的题目已经出现多次了，题目也很具有代表性，数列以类似于反比例函数或票带函数形式出现时取平方是一种常见的处理方法，此时乘积项为整数，在本题中每一项都有正负两个值，因此数列的通项特点有三种，要么为正项数列，要么为负项数列，要么正项负项随机出现，本题中存在一个等差数列，但an的通项公式并不能直接写出，需要分三种情况讨论，无论哪种情况A选项均满足，本题留意一下这种数列形态即可。

　　

　　

　　这是这套试卷填空第15题，如果单纯从得分的角度去看，题目没有什么值得一提的地方，本身也有其他更简单的解法，如果把题目复杂化，用三角换元去解，此时sinθ,cosθ都有各自的范围，但总体θ的范围无法求出，如何求sin(θ+φ)的范围？

　　在用三角函数换元后利用有界性去解的题目中我们做惯了那种对角度θ无限制的题目，此时最值以及对应θ都可容易求出，但对角度的正余弦值本身有限定条件的这种题目你平时留意过吗，这也是对这个简单题目复杂化的原因，这本是高一三角函数中就必须掌握的知识，但依旧有很多高三学生不清楚其中的做法。

　　若直接换元，原式表示圆，因为2^a,2^b均为正数，作出圆的大致图像，可知符合要求的图像为圆弧，将所求可看成线性规划求限定条件内的截距最值问题更简单，但如果就用三角换元去解，sinθ,cosθ均有范围，可通过作出单位圆中对应的三角函数线来确定出θ的区域，再确定出θ+π/4的区域，从图中确定出符合式子最值时的情况即可。

　　

　　

　　注意上图中BOD三点共线，逆时针旋转45°之后的B'OD'也共线，只需求出OD与x轴正半轴夹角的正余弦值后再求出θ+π/4的正弦值即可，本题有其它解法，读者可自行探索。

　　

　　分析：题目从哪个角度入手会更加简单一些？从四位同学的角度还是从空座位的角度？若从空座位的角度出发，设八个座位的次序分别为1-8，因为并不确定空座位的位置，按照空座位的位置讨论即可。

　　若空座位的次序为1,2，则3号座位必须有人坐，剩余3位同学和2个空位置，若保证不再有连续两个空座位情况，只需将两个空座位插入到剩余3位学生的座位中即可，使用插空法，再对四名学生全排列，剩余情况类似，只需判定前四种情况即可，后三种情况和已求得的情况相同。

　　

　　其实本题没有必要分别讨论两个连续空位的准确位置，只需将四个空位分成三组，即2,1,1的情况，将三组空位置插入到四个有人坐的位置中去即可，因为存在均匀分组，记得除重，最后四个学生全排列即可。