一位业余爱好者用“惊人”的新形状震惊数学界

　　一位业余爱好者发现一种非凡的新颖的重复形状使数学界感到惊异，最近的媒体与一些数学刊物都在热论这一发现。

　　来自英格兰北部的退休印刷技术员、大卫·史密斯 (David Smith) 在追求自己寻找有趣形状的爱好时，在去年11月发现了这一与众不同的形状。

　　

　　64岁的史密斯（下图）、一位英国的退休养老金领取者、一位拼图、分形和路线图的狂热爱好者，他“最喜欢的事情之一就是玩弄形状。”

　　大卫·史密斯 (David Smith)

　　他称这个13边形的多边形叫“帽子”（形状如英国礼帽），这是一个是迄今为止发现的第一个可以完全覆盖无限大平面、而无需重复相同图案的单一形状。

　　

　　当史密斯在今年3月与全世界分享他的这一形状时，兴奋不已的粉丝们争先恐后尝试使用新瓷砖、制作剪纸、3D打印，制作帽子、将其印在T恤上、缝在被子上、制作饼干模具、或用它来代替足球上的六边形，有些人甚至计划按其纹身。

　　这种图案成为了第一个“爱因斯坦”——以德国人的一种拼铺瓷砖（einstein）命名（注意，同名但不是指著名物理学家爱因斯坦）。德语短语“ein stein”，意思是“一块”。

　　长期以来没有人能找到真正的爱因斯坦图案。最终，数学家们开始怀疑这样的瓷砖是否存在。这种图案解决了60年来数学家们认为不可能解决的“爱因斯坦问题”。

　　“爱因斯坦问题”

　　

　　在平面几何中，爱因斯坦问题询问是否存在一个单独的原型，它本身形成一组非周期性的原型；也就是说，一种可以镶嵌空间但只能以非周期性方式镶嵌的形状。这样的非规则性平铺形状被称为爱因斯坦。爱因斯坦问题可以看作是希尔伯特的第十八个问题第二部分的自然延伸，它要求一个单一的多面体来平铺欧几里德3维空间，这个多面体的镶嵌不是等面体 。德国数学家Karl Reinhardt于1928年发现了这样的异面体瓦片，但这些异面体瓦片的所有瓦片空间都是周期性的。

　　自1960年代以来，数学家一直在寻找像帽子这样的瓷砖。获得诺贝尔奖的数学家彭罗斯在1970年代发现仅包含两个非周期性瓷砖组。

　　

　　1982年，丹·谢赫特曼 (Dan Shechtman）发现类似于彭罗斯拼块中对称性的准晶体的结构形式出现在自然界中，这项工作为他赢得了2011年诺贝尔化学奖。另一位诺贝尔获奖者称“他不是真正的科学家但获得了诺贝尔奖”。

　　

　　直到2022年，业余爱好者史密斯发现了“帽子”形的瓷砖，由八个60°–90°–120°–90°风筝形组成，边对边粘合，似乎只是不规则地拼铺平面。

　　

　　在震惊了数学界之后，史密斯——一位没有受过专业数学训练的爱好者表示说，他在学校的数学并不好。虽然所有人都同意“帽子”是第一个爱因斯坦，但它的镜像需要七分之一才能确保图案永远不会重复。

　　

　　史密斯经过几位数学家的协助，共同在2023年又发布了一篇论文，证明这顶帽子在考虑其镜像时会形成一个非周期性原型集。这种帽子可以推广到具有相同非周期性属性的无限系列瓷砖。他们的证明正等待同行评审和正式发表。

　　

　　在这个预印本研究中，史密斯和帮助他确认这一发现的三位数学家进一步地改进，揭示了一种新的形状，称之为“幽灵”（specter）。它不需要镜像，使它成为一个更纯粹的“爱因斯坦”。作者在论文中写道，这一帽子瓷砖体现了“足够的复杂性，可以在所有尺度上强行破坏周期性秩序”。

　　“可以这么简单”

　　加拿大滑铁卢大学的计算机科学家克雷格·卡普兰表示说，这是“一个有趣且几乎荒谬的故事——但很棒”。他说，居住在约克郡东区的退休印刷技术员史密斯在11月“突然”给他发了电子邮件。卡普兰说，史密斯发现了一些“不符合他对形状行为的正常预期”的东西。

　　通过计算机程序，卡普兰和另外两位数学家表明该形状在无限平面上可以无限继续，使其成为第一个爱因斯坦，及“非周期性单片”（aperiodic monotile），又称非周期性瓦片。

　　

　　他们在3月发表预印本后，一位叫良树吕彦（Yoshiaki Araki）的日本拼图爱好者受到启发 。通过使用这种“帽子”，团队创造了另一种非周期性形状，称之为“乌龟”（turtle）进行艺术创作，有时使用翻转的版本。

　　

　　在第一篇论文发表后不到一周，史密斯通过电子邮件向卡普兰发送了一个新形状。卡普兰起初拒绝相信。他表示说，“不可能那么容易”。

　　但在分析证实 Tile (1,1) 是一个“非反射性爱因斯坦”后，卡普兰表示，有些事情仍然困惑着他们——虽然这种瓷砖可以永远持续下去而不重复一种模式，但这需要“人为禁止”来禁止使用翻转的形状。因此，他们在边缘添加了一些凹口或曲线，确保只能使用非翻转版本，从而创造出“幽灵”。如图所示，着色的瓷砖根据其方向使用“Tile(1,1)”进行非周期性平铺。

　　

　　“帽子”的节日

　　卡普兰说，他们的两篇论文提交给了同行评审的期刊，数学界的反应是迫不及待地表达了惊讶。美国史密斯学院的数学家马乔里·塞内查尔表示说，这些发现“令人兴奋、惊讶和奇异”。她说，她希望这个“幽灵”及其相关变种“能使人们更深入地了解自然界的秩序及其秩序的本质。”

　　美国著名女数学家Doris Schattschneider表示，这两种形状都“令人惊叹”。她认为，即使是获得诺贝尔奖的数学家彭罗斯，之前所做的出最大努力是在1970年代将非周期性瓷砖的数量减少到两个，但彭罗斯也不确定这样的事情是否可能。

　　现年91岁的彭罗斯将在下个月于牛津大学举行的为期两天的专门为此举办的“帽子节“（Hatfest）活动中庆祝这些新造型。所有节日参与者对未经数学专门训练而取得如此突破表示惊讶。

　　协助史密斯发表两篇论文的计算机数学家卡普兰

　　论文合著者、协助史密斯发表了两篇论文的计算机数学家、卡普兰（上图）评价说，“答案从天而降，落入了一个业余爱好者的手中——我的意思是，以最好的方式，一个在专业实践之外探索它的主题爱好者”。“这本不是应该发生的事情，但令人高兴的是，科学史上确实偶尔会发生，一下子闪光给我们带来了答案。”

　　这不是业余爱好者第一次在拼贴几何方面取得重大突破。担任邮件分拣员的罗伯特·阿曼 (Robert Ammann）在1970年代独立发现了一套彭罗斯瓷砖。1975年加州家庭主妇马乔里·赖斯 (Marjorie Rice) 发现了一个新的五边形瓷砖家族。随后澳大利亚的业余爱好者琼·泰勒 (Joan Taylor) 在物理学家索科拉尔帮助下发现了索科拉-泰勒瓷砖。著名组合几何数学家塞内查尔评价说，也许与数学家不同，业余爱好者“并不需要知道这有多难”。

　　下一个自然而然的问题，是数学家是否可以确定这种新型拼贴的某种来源。1981年，一位荷兰数学家证明了彭罗斯拼贴是周期性五维拼贴的二维阴影。普林斯顿高等研究院数学学院研究院。雷切尔·格林菲尔德（Rachel Greenfeld ）表示说：“如果这些 [新] 拼贴的动力学或结构对应于一些更高维的规则拼贴，这将非常有趣。”

　　杜克大学物理学家、约书亚·索科拉尔（Joshua Socolar，与澳大利亚的业余爱好者琼·泰勒一同发现索科拉-泰勒瓷砖）已经开始探索瓷砖的材料特性。他发现，如果通过这些瓷砖照射光线，就会出现衍射图案，这种图案具有研究人员在准晶体中观察到的相同类型的尖峰。即便如此，帽子平铺“在我看来与我以前见过的任何其他东西都不一样，”他说。

　　与此同时，史密斯还在继续探索他的“小瓷砖”。他打算探索它的艺术可能性，如何使用颜色来突出这种瓷砖内在的模式。

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